Definición de paseo aleatorio

Question

Acabo de empezar a estudiar esto script sobre los Paseos Aleatorios, pero tengo problemas con una definición que se da allí justo al principio (página 10).

Estamos viendo los paseos aleatorios en la red cuadrada $\mathbb{Z}^d$ y la definición comienza estableciendo la noción de conjunto generador $V=\{x_1, \dots, x_m\}\subset \mathbb{Z}^d$ de manera que cada $y \in \mathbb{Z}^d$ puede escribirse como $y=a_1x_1+\dots+a_mx_m$ para alguien $a_1, \dots, a_m \in \mathbb Z^d$ . A continuación, nos limitamos a tales conjuntos generadores $V$ tal que para cada $x \in V$ el primer componente no nulo de $x$ es positivo. Dado un conjunto generador de este tipo $V=\{x_1, \dots, x_m\}$ y una función $\kappa: V \rightarrow (0,1]$ con $\kappa(x_1)+\dots+\kappa(x_m) \leq1$ una distribución de probabilidad asociada $p$ en $\mathbb Z^d$ se define como sigue $$p(x_k)=p(-x_k)=\frac{1}{2}\kappa(x_k),\ p(0)=1-\sum_{x \in V} \kappa(x).$$

Mi problema: no veo cómo $p$ es una distribución de probabilidad bien definida en $\mathbb Z^d$ . Es decir, para una $y \in \mathbb Z^d$ tenemos $p(y)=p(a_1x_1+\dots+a_mx_m)$ Pero, ¿cómo puedo obtener la probabilidad de $y$ ? No es como $p$ es una función lineal o algo así, así que supongo que me estoy perdiendo algún punto fundamental de esta definición...

¿Puede alguien ayudarme a aclarar esto?

Answer 1

Está implícito (y debería haberse dicho) que todas las demás probabilidades son cero, es decir, que la probabilidad se apoya en el origen, los vectores base y sus opuestos; $p(y)=0$ a menos que $y$ es uno de los $x_k$ o su opuesto o el origen.

La interpretación es que un paseo aleatorio tiene probabilidad cero de dar dos saltos (incluidos los saltos diagonales) a la vez, y que tiene igual probabilidad de moverse en cualquiera de las dos direcciones opuestas.

Answer 2

Por lo que veo, $p$ es sólo una distribución de una variable aleatoria i.i.d $X_i$ tomando valores en $\mathbb{Z}^d$ . Con respecto al conjunto generador elegido, cualquier miembro de $\mathbb{Z}^d$ se representa como un vector de coordenadas $(k_1,\cdots,k_l)$ (usando la notación utilizada en el artículo original. Ahora $p$ está diciendo que

$P(X_i=(0,0,\cdots,0,\pm 1,0,\cdots,0)) = \kappa(x_k)/2$ con $1$ que ocurren en $k^{\text{th}}$ lugar, y $X_i=0$ con probabilidad $1-\sum_{x\in V}\kappa(x)$ para que $p$ es una distribución legítima.

Por lo tanto, el paseo aleatorio puede ser descrito por $S_n=x+X_1+\cdots+X_n$ donde $x$ es la posición inicial. Probablemente el ejemplo más familiar de esto sería $x_i=e_i$ donde $e_i$ son bases estándar, con $\kappa(x_i)=1/d$

Pero no estoy tan seguro de por qué requerimos que las primeras coordenadas no nulas de los conjuntos generadores sean positivas - supongo que el autor podría utilizar esta propiedad para implicar ciertas propiedades en el paseo aleatorio, o hay un punto delicado que se me escapa aquí.

Pero espero que esto le dé una idea de lo que se está describiendo.