¿Cuál es el fundamento de las reglas para detectar un proceso fuera de control en el Control Estadístico de Procesos?

Question

El Control Estadístico de Procesos (CEP) puede utilizarse para determinar si un proceso está "en control estadístico". Una herramienta habitual del CEP es el "gráfico de control de medias", que consiste básicamente en una serie temporal de medias muestrales obtenidas del proceso que se pretende analizar.

Una regla general presentada por John Oakland en su libro Control estadístico de procesos es la siguiente. Cito:

Una tendencia es una sucesión de puntos en el gráfico que van al alza o a la baja, y puede indicar cambios graduales, como el desgaste de las herramientas. Las reglas relativas a la detección de carreras y tendencias se basan en encontrar una serie de siete puntos en una tendencia ascendente o descendente (figura 6.5), o en una carrera por encima o por debajo del valor medio (figura 6.6). Éstas se tratan como señales de descontrol. La razón de elegir siete está relacionada con el riesgo de encontrar un punto por encima de la media, pero [dentro de 2 $\sigma$ ] siendo ca=0,475. La probabilidad de encontrar siete puntos en dicha serie será (0,475)7 = ca. 0,005. Esto indica cómo una racha o tendencia de siete tiene aproximadamente la misma probabilidad de ocurrir que un punto [3 $\sigma$ lejos de la media] (pág. 111, 7e)

Los autores motivan aquí la discusión con el uso de una distribución normal, por lo que es lógico que todos los cálculos se realicen con la normal. Los autores incluyen la siguiente figura como ilustración de una "tendencia"

El fundamento de esta definición de "tendencia" es confuso. Oakland señala correctamente que

$$\mathbf{\Phi}(2) - \mathbf{\Phi}(0) \approx 0.47$$

Sin embargo, la probabilidad de observar tal secuencia de observaciones no es 7*0,46>1, ni tampoco $0.46)^7$ . La probabilidad de observar una tendencia depende de la secuencia de valores observados.

Suponiendo que los puntos son independientes, entonces la probabilidad de observar una tendencia $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_7$ , donde $x_i$ son iid, sería la probabilidad que encuentro $x_2<x_1$ multiplicado por la probabilidad de que $x_3<x_2$ y así sucesivamente. Más compacto,

$$\prod_{i=1}^6 \mathbf{\Phi}(x_i)$$

Este producto depende claramente de lo "empinada" que sea esta tendencia.

import numpy as np
from scipy.stats import norm

#Not so steep
trend = np.linspace(2,1,7)
np.prod(norm.cdf(trend))
>>>0.6094690320800531

#Very steep
trend = np.linspace(2,-2,6)
np.prod(norm.cdf(trend))
>>>0.0005112910660916415

¿Podría alguien más familiarizado con el SCP justificarme por qué una tendencia de 7 puntos, independientemente de dónde se observen esos puntos, señala un proceso fuera de control? Y lo que es más importante, ¿por qué los profesionales del CPS se refieren a estas tendencias como "estadísticamente significativas"?

Answer 1

No tengo el libro de Oakland, pero supongo que el texto que has citado sólo se aplica a la discusión de las rachas (todas por encima o por debajo de la media) pero no a las tendencias (todas en aumento o en disminución). Deduzco esto basándome en el lenguaje de "riesgo de encontrar un punto por encima de la media..." en el texto citado.

Además, existe un desacuerdo sustancial entre la gente de SPC sobre lo que es útil en SPC, por lo que dudaría en generalizar algo más allá de "usar la regla 1". Wheeler, por ejemplo, considera que las reglas basadas en tendencias son problemáticas y las critica en su libro Advanced SPC, pero también en este artículo:

https://www.spcpress.com/pdf/DJW322.Oct.17.Using%20Extra%20Detection%20Rules.pdf

"Recomendación: La mejor práctica moderna es evitar por completo el uso de la regla tres de Nelson y todas las demás pruebas de subida y bajada también. La regla uno llegará primero en la mayoría de los casos".

Si realmente quieres profundizar en el motivo por el que se eligió el siete para la regla de la tendencia, deberías consultar el trabajo de Nelson de los años 80 (ver el artículo de Wheeler), aunque admito que nunca lo he leído, así que no puedo estar seguro de si tiene explicaciones teóricas para las reglas. Además, Nelson eligió seis en lugar de siete, así que tendrías que averiguar por qué Oakland decidió aumentar el número en 1.

Por último, mi experiencia es que los practicantes experimentados de SPC generalmente no se refieren a nada como "estadísticamente significativo" en las aplicaciones de SPC, aunque eso podría ser una función de los que he encontrado. Si un punto es inusual, está "fuera de control", no "estadísticamente significativo".

Answer 2

AQUÍ es la razón por la que una tendencia de 7 puntos, independientemente de dónde se observen esos puntos, señala un proceso fuera de control.

Para un proceso "en control", el orden de aparición de cualquier valor de 7 puntos de datos sería aleatorio, con todos los órdenes igualmente probables. ¡Siete puntos aleatorios podrían ocurrir en 7! = 5.040 órdenes posibles. Sólo uno de esos órdenes sería sucesivamente creciente y sólo uno sería decreciente. Por lo tanto, para 7 puntos sucesivos, la probabilidad de que se produzca una tendencia, ya sea creciente o decreciente, sería de 1/5040 x 2 = 0,0004 (aproximadamente).

Además, si se restringe que los 7 puntos se encuentren dentro de +/- 2 sigma, entonces hay que multiplicar el 0,0004 x (0,95)^7 = 0,00028. (El 0,95 supone una distribución normal.) Esta probabilidad es ciertamente lo suficientemente baja como para considerar una tendencia de 7 puntos como una señal "fuera de control".