Dejemos que $(\Omega^{n+1},g)$ sea una variedad compacta de Riemann con frontera lisa. Sea $f\in C^{\infty}(\bar{\Omega})$ satisface $\operatorname{Hess}f=\frac{1}{n+1}g.$ Supongamos que el mínimo de $f$ se produce en algún punto interior $x_0. $ Quiero saber por qué esta igualdad implica que $$\operatorname{grad} f=\frac{1}{n+1}r\frac{\partial}{\partial r},$$ donde $r$ es la distancia al punto $x_0.$
Respuesta
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Para cualquier punto $x$ que no sea $x_0$ Supongamos que $\gamma$ es la geodésica que conecta $x_0$ y $x$ cuya longitud es $r$ . Sea $V=\frac{\partial}{\partial r}$ y $w$ sea cualquier vector ortogonal a $v=V(x)$ . Transporte paralelo $w$ a lo largo de $\gamma$ para obtener un campo vectorial (a lo largo de $\gamma$ ) $W$ .
Ahora tenemos $$\frac{d}{dr}(Wf)=VW(f)=\operatorname{Hess}(f)(V,W)$$ $$=\frac{1}{n+1}\langle V,W\rangle_g=0.$$ Así que $W(f)$ es una función constante a lo largo de $\gamma$ . Sin embargo, tenemos $Wf(x_0)=df_{x_0}(W)=0$ como $x_0$ es un punto crítico. Por lo tanto, $W(f) \equiv 0$ a lo largo de $\gamma$ lo que implica $\langle \operatorname{grad}(f),w\rangle_g=w(f)=W_x(f)=0$ .
Del mismo modo, tenemos $$\frac{d}{dr}(Vf)=\frac{1}{n+1}.$$ Integrar a lo largo de $\gamma$ obtenemos $Vf(x)=\frac{r}{n+1}$ y $\langle \operatorname{grad}(f), v\rangle_g=v(f)=V_x(f)=\frac{r}{n+1}$ . Estos resultados llevan a la conclusión de que $$\operatorname{grad}(f)=\frac{r}{n+1}V.$$
