Dejemos que $f\in C^1([0,1]) $ tal que $f(0)=f(1)=0 $
Demostrar que $$\int_0^1|f(x)|^2dx\leq \frac{1}{8}\int_0^1|f'(x)|^2dx $$
No estoy seguro de si esta desigualdad tiene un nombre especial, pero no he podido encontrar nada sobre ella. He intentado descomponer $f$ en el lado izquierdo en una constante arbitraria más la integral de su derivada, pero sólo parecía complicar más las cosas. También consideré tomar la raíz cuadrada de ambos lados, pero tampoco llegué muy lejos con eso. Estoy pensando que tal vez hay un aspecto más teórico (Rolle's/MVT)
Esta desigualdad me recuerda mucho a la siguiente que relaciona la norma del infinito de la función de Green: Dado $u(x)=\int_0^1G(x,y)f(y)dy$
$$||u(x)||_{\infty}\leq\frac{1}{8}||f(x)||_{\infty} $$
¿Quizás sus pruebas sean similares?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Desde $f(x) = f(x) - f(0) = \int\limits_{0}^{x}{f'(t)\text{ d}t}$ podemos aplicar Cauchy Schwarz para obtener $$|f(x)|^2 = \left(\int\limits_{0}^{x}{f'(t)\cdot 1\text{ d}t}\right)^2 \le\int\limits_{0}^{x}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\int\limits_{0}^{x}{1\text{ d}t} = x\int\limits_{0}^{x}{|f'(t)|^2\text{ d}t}.$$ Del mismo modo, ya que $f(x) = f(x) - f(1) = -\int\limits_{x}^{1}{f'(t)\text{ d}t}$ un cálculo similar da como resultado $$|f(x)|^2 = \left(\int\limits_{x}^{1}{f'(t)\cdot 1\text{ d}t}\right)^2 \le\int\limits_{x}^{1}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\int\limits_{x}^{1}{1\text{ d}t} = (1-x)\int\limits_{x}^{1}{|f'(t)|^2\text{ d}t}.$$ Por lo tanto, tenemos \begin{align} \int\limits_{0}^{1}{|f(x)|^2\text{ d}t} &= \int\limits_{0}^{1/2}{|f(x)|^2\text{ d}x} + \int\limits_{1/2}^{1}{|f(x)|^2\text{ d}x} \\ &\le\int\limits_{0}^{1/2}{x\int\limits_{0}^{x}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\text{ d}x} + \int\limits_{1/2}^{1}{(1-x)\int\limits_{x}^{1}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\text{ d}x} \\ &\le\int\limits_{0}^{1/2}{x\int\limits_{0}^{1/2}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\text{ d}x} + \int\limits_{1/2}^{1}{(1-x)\int\limits_{1/2}^{1}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\text{ d}x} \\ &=\left(\int\limits_{0}^{1/2}{x\text{ d}x}\right)\left(\int\limits_{0}^{1/2}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\right) + \left(\int\limits_{1/2}^{1}{(1-x)\text{ d}x}\right)\left(\int\limits_{1/2}^{1}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\right) \\ &=\frac{1}{8}\left(\int\limits_{0}^{1/2}{|f'(t)|^2\text{ d}t}+\int\limits_{1/2}^{1}{|f'(t)|^2\text{ d}t}\right) \\ &=\frac{1}{8}\int\limits_{0}^{1}{|f'(t)|^2\text{ d}t} \end{align} como se desee.
