Demostrar

Question

$a,b,c >0$ y$a+b+c=3$, prueban PS

Intento aplicar AM-GM PS Por lo tanto, queda por probar $$\left(\frac{a+1}{a+b} \right)^{\frac25}+\left(\frac{b+1}{b+c} \right)^{\frac25}+\left(\frac{c+1}{c+a} \right)^{\frac25} \geqslant 3$$$\left(\frac{a+1}{a+b} \right)^{\frac25}+\left(\frac{b+1}{b+c} \right)^{\frac25}+\left(\frac{c+1}{c+a} \right)^{\frac25} \geqslant 3\cdot \sqrt[3]{\left(\frac{a+1}{a+b} \right)^{\frac25}\left(\frac{b+1}{b+c} \right)^{\frac25}\left(\frac{c+1}{c+a} \right)^{\frac25}}$ a + b + c = 3. $ Pero encontré el ejemplo de contador para$$\left(\frac{a+1}{a+b} \right)\left(\frac{b+1}{b+c}\right)\left(\frac{c+1}{c+a} \right) \geqslant 1 $ $ :(

Answer 1

Sugerencia parcial:

Con tu trabajo se puede demostrar que:

PS

Con $$\left(\frac{a+1}{3-x-a+a} \right)\left(\frac{3-x-a+1}{3-x-a+x}\right)\left(\frac{x+1}{x+a} \right) \geqslant 1 $ y $1\leq a\leq 2$

No puedo probarlo, pero usando la desigualdad de Bernoulli tenemos:

PS

Con $x\in[2-a,1]$ y $$ \left(\frac{a+1}{x+a} \right)^{\frac25}+\frac{1}{1+\frac{2}{5}\left(\frac{3-x-a+a}{3-x-a+1}-1\right)}+\left(\frac{x+1}{3-x-a+x} \right)^{\frac25}\geq 3$