notaciones en la ecuación de navier stokes

Question

Estoy leyendo la ecuación de Navier Stokes. Y tengo problemas para entender la definición de solución débil.

La ecuación incompresible de Navier Stokes se escribe como $$\partial_tu+div(u\otimes u)-v\bigtriangleup u=-\bigtriangledown p$$$$ divu=0 $$$$u|_{t=0}=u_0$$

La solución débil se define como un campo vectorial u dependiente del tiempo con componente en el espacio $L_{loc}^2((0,T]\times\mathbb{R}^d)$ si para cualquier campo vectorial suave, compactamente soportado, dependiente del tiempo y sin divergencia $\phi$ tenemos $$\int_{\mathbb{R}^d}u(t,x)\cdot\phi(t,x)dx=\int^t_0\int_{\mathbb{R}^d}(vu\cdot\bigtriangleup\phi+u\otimes u:\bigtriangledown\phi+u\cdot\partial_t\phi)(t',x)dxdt'+\int_{\mathbb{R}^du}u_0(x)\cdot\phi(0,x)dx$$ Estoy confundido con la notación :. ¿Qué significa? Supongo que la definición de solución débil se obtiene por "integración por partes". Así que es una solución en el sentido de la distribución. Pero no conozco la notación :.¡Gracias por cualquier pista!

Answer 1

No es una notación estándar, y no es obvio a menos que hagas el cálculo. Parece que el autor quiere decir $$A:B=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$$ donde $A$ y $B$ son matrices de las mismas dimensiones. Podemos ver esto haciendo la integración formal por partes en el $\nabla\cdot(u\otimes u)$ de la siguiente manera: $$\int[\nabla\cdot(u\otimes u)]\cdot\phi=\int\sum_{i,j}\partial_i(u_iu_j)\phi_j=-\int\sum_{i,j}u_iu_j\partial_i\phi_j=-\int(u\otimes u):\nabla\phi$$ como se iba a demostrar.