suma de cuadrados de dependiente de variables aleatorias Gaussianas

Question

Ok, por lo que la distribución Chi-Squared con n grados de libertad es la suma de los cuadrados de los n independiente de gauss variables aleatorias.

El problema es que mi gaussiano variables aleatorias no son independientes. No obstante, todos tienen cero la media y la misma varianza. Suponiendo que tengo una matriz de covarianza - que no es una matriz diagonal, porque no son independientes, sino que todos los elementos a lo largo de la diagonal son iguales entre sí, porque tienen la misma varianza, y, de hecho, la matriz de covarianza es simétrica matriz de toeplitz (y no estoy diciendo que esto es importante para la solución si es que la hay, pero si es una propiedad necesaria para llegar a cualquier parte, por todos los medios el uso de ese hecho) - ¿hay alguna forma de descomponer esta suma de los cuadrados de estas variables aleatorias gaussianas en tal vez una suma de chi-cuadrado de las variables aleatorias y, posiblemente, de gauss variables aleatorias? En otras palabras, no se puede directamente al cuadrado de todos ellos y añadirlos juntos y llamar a un chi-cuadrado de distribución debido a un chi-cuadrado de distribución es una suma de independiente de gauss plazas, y que no son independientes.

Sé cómo encontrar una transformación lineal de las variables aleatorias gaussianas que son n gaussianas independientes, pero eso no ayuda, porque ellos no son el tipo de cosas que son cuadrados, se puede ver.

Answer 1

Vamos a suponer que usted ha $X=(X_1, \dots, X_n)$ un vector aleatorio con distribución multinormal con la expectativa de vectores $\mu$ y matriz de covarianza $\Sigma$. Estamos interesados en la forma cuadrática $Q(X)= X^T A X = \sum \sum a_{ij} X_i X_j$. Definir $Y = \Sigma^{-1/2} X$ donde estamos asumiendo $\Sigma$ es invertible. Escribir también a $Z=(Y-\Sigma^{-1/2} \mu)$, los cuales tendrán la expectativa de cero y la varianza de la matriz de la identidad.

Ahora $$ Q(X) = X^T X= (Z+\Sigma^{-1/2} \mu)^T \Sigma^{1/2}\Sigma^{1/2} (Z+\Sigma^{-1/2} \mu). $$ Utilizar el teorema espectral ahora y escribir $\Sigma^{1/2}A \Sigma^{1/2} = P^T \Lambda P$ donde $P$ es una matriz ortogonal (de modo que$P P^T=P^T P=I$)y $\Lambda$ es la diagonal positiva elementos de la diagonal $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. Escribir $U = P Z$, de modo que $U$ es normal multivariante con la identidad de la matriz de covarianza y la expectativa cero.

Podemos calcular $$ Q(X) = (Z+\Sigma^{-1/2} \mu)^T \Sigma^{1/2}\Sigma^{1/2} (Z+\Sigma^{-1/2} \mu) \\ = (Z+\Sigma^{-1/2} \mu)^T P^T \Lambda P (Z+\Sigma^{-1/2} \mu) \\ = (PZ+P\Sigma^{-1/2} \mu)^T \Lambda (PZ+P\Sigma^{-1/2} \mu) \\ = (U+b)^T \Lambda (U+b) $$ donde ahora $b = P \Sigma^{-1/2} \mu $. (Hubo un pequeño error en el anterior defs de $U$$b$, ahora corregida.) Así: $$ Q(X) = X^T X = \sum_{j=1}^n \lambda_j (U_j+b_j)^2 $$ En su caso, $\mu=0$$b=0$, por lo que su forma cuadrática es una combinación lineal de independiente de chi-cuadrado de las variables, cada una con un grado de libertad. En el caso general, vamos a obtener una combinación lineal de independiente no central de la chi-cuadrado de las variables.

Si quieres trabajar numéricamente con que distribuion, hay un CRAN paquete (es decir, el paquete de R) de la aplicación, llamado CompQuadForm.

Si quieres (mucho) más detalle, hay un libro dedicado al tema, Mathai Y Provost: "Cuadráticas formas en las variables aleatorias".