Ejemplos de Densidad \Not Conjuntos densos

Question

Sea el conjunto de secuencias eventualmente nulas $c_{00} = \{x = (x_1, x_2, . . .) : x_n = 0 \ \text{for all but finitely many} \ n \}$ donde $x_i$ son números reales.

(a) Demuestre que $c_{00}$ es denso en $l^p, 1 \le p < \infty$ .

(b) Demuestre que $c_{00}$ no es denso en $l^\infty$ .

$\text{My attempt}$ :

a) dejar $\epsilon>0$ y elegir cualquier $c_{00} \ni x= (x_1,\dots,x_n,0,0,\dots) , x_i\in\mathbb{R}$ . Definir el conjunto $M=\{l^p \ni y=(y_i)_{i\ge 1} : (y_i)_{i=1}^n \in \mathbb{Q}, (y_i)_{i=n+1}^\infty=0 \}$ , entonces el conjunto $M$ es contable y $M\subset l^p$ . entonces , ya que los racionales son densos en los reales;

$$\|x-y\|_{l^p}^p = \sum_{i=1}^\infty|x_i-y_i|^p = \sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p < \epsilon^p$$ $$\|x-y\|_{l^p}<\epsilon \ \ \ ,\text{for some}\ \ y\in M$$

b) De forma similar, dejemos que $\epsilon>0$ y elegir cualquier $c_{00} \ni x= (x_1,\dots,x_n,0,0,\dots) , x_i\in\mathbb{R}$ . Además, elija $l^\infty \ni y=(y_i)_{i\ge1}$ s.t. $(y_i)_{i=1}^n \in \mathbb{Q}, (y_i)_{i=n+1}^\infty=L$ . En el sitio web $\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p<\frac{\epsilon^p}{2}$ y $L<\infty$ es lo suficientemente grande. Entonces ;

$$\|x-y\|_{l^p}^p = \sum_{i=1}^\infty|x_i-y_i|^p = \sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p + \sum_{i=n+1}^\infty|y_i|^p< \frac{\epsilon^p}{2} + \sum_{i=n+1}^\infty|y_i|^p$$

Así que $L$ se puede elegir suficientemente grande s.t. $\sum_{i=n+1}^\infty|y_i|^p > \frac{\epsilon^p}{2}$ . Así que $c_{00}$ no es denso en $l^\infty.$

Answer 1

Para (a), su argumento no demuestra que $c_{00}$ es denso en $\ell^p$ sino que demuestra que el conjunto de elementos de $c_{00}$ con coordenadas racionales es denso en $c_{00}$ . Para demostrar que $c_{00}$ es denso en $\ell^p$ se debe comenzar con un elemento arbitrario de $\ell^p$ y demostrar que el $\varepsilon$ centrada en este elemento contiene un elemento de $c_{00}$ para cualquier $\varepsilon>0$ .

Para (b), con el fin de demostrar que $c_{00}$ no es denso en $\ell^{\infty}$ necesita demostrar que hay algo de $x\in\ell^{\infty}$ y $\varepsilon>0$ tal que ningún elemento de $c_{00}$ está contenida en el $\varepsilon$ bola centrada en $x$ . Por lo tanto, aunque está en el camino correcto, no tiene mucho sentido empezar con un elemento de $c_{00}$ .

Answer 2

Esta es la solución editada que he añadido.

a) dejar $y\in l^p$ sea cualquier punto arbitrario , entonces $\sum_{i=1}^\infty |y_i|^p< \infty$ . Como esta serie converge, podemos escribir que para cualquier $\epsilon>0$ existe $n$ tal que $\sum_{i=n+1}^\infty |y_i|^p< \epsilon^p$ para todos $i\ge n$ . Entonces existe $c_{00}\ni x=(x_1,⋯,x_n,0,⋯)$ , s.t. $y_i=x_i \ \ \forall i\le n$ y $\|y-x\|_{l^p} < \epsilon \ \ .$

b)elegir $\epsilon >0$ y que $y\in l^\infty$ sea cualquier punto arbitrario s.t. $l^\infty\ni y=(y_1,⋯,y_n,L,L,,⋯)$ . Entonces, para cualquier $x\in c_{00}$ no importa lo cerca que esté de $y$ (incluso si $x_i=y_i=L$ ) podemos elegir $L$ lo suficientemente grande s.t.

$$\|x-y\|_{l^\infty} = \sup_{i}|x_i-y_i| > \epsilon$$