Múltiples suaves y preimagen de mapeos de momento

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie que actúa sobre sí mismo como $\phi(h)(g)= L_h(g)$ como una traducción a la izquierda. Entonces podemos considerar la elevación cotangente de esta acción, a saber $\Phi: G \times T^*G \rightarrow T^*G$ como $\Phi(h)(g,p) = (hg,(dL_{h^{-1}}(hg))^*p).$

Ahora se puede demostrar que dicho mapa induce una función canónica de Hamilton con mapa de momento sobre el haz cotangente

$H_{\xi}(g,p) = J(q,p)(\xi):=(dR_g)^*(e)(p)(\xi)$ para algunos $\xi \in \mathfrak{g}.$

Esta es ahora mi motivación para la pregunta:

Si consideramos $J^{-1}(x)$ para $x \in \mathfrak{g}^*$ entonces este conjunto viene dado por $$J^{-1}(x) = \{ (g , (dR_{g^{-1}})^*(g)(x));g \in G \}.$$

Mi pregunta es: ¿Por qué es un colector? (Admito que se parece mucho a una aplicación del teorema del valor regular, pero no veo por qué se aplica)

Si hay algo que no está claro en mi pregunta, por favor, hágamelo saber.

Answer 1

Utilizando la multiplicación por la izquierda de $G$ sobre sí mismo se puede demostrar que $T^*G\cong \mathfrak{g}^*\times G$ y bajo esa identificación la acción levantada es simplemente $h\cdot (\xi,g)=(\xi,h\cdot g)$ y el mapeo del momento es $\mathfrak{g}^*\times G\ni (\xi,g)\mapsto(\mathrm{Ad}_{g^{-1}})^*(\xi)\in\mathfrak{g}^*$ .

La preimagen por el mapeo del momento de un punto $\zeta\in\mathfrak{g}^*$ es el conjunto de puntos $(\xi,g)\in\mathfrak{g}^*\times G$ Satisfaciendo a $(\mathrm{Ad}_{g^{-1}})^*(\xi)=\zeta$ Así que.., $\{((\mathrm{Ad}_g)^*(\zeta),g)\}_{g\in G}\subset\mathfrak{g}^*\times G$ .

La cartografía $G\ni g\mapsto ((\mathrm{Ad}_g)^*(\zeta),g)\in\mathfrak{g}^*\times G$ proporciona un difeomorfismo entre la La preimagen por el mapeo del momento de un punto $\zeta\in\mathfrak{g}^*$ y $G$ .

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Editar:

En la anotación del cartel original, $J^{-1}(x)=\{(g,(dR_{g^{-1}})^*(g)(x)); \ g\in G\}$ y el mapeo $G\ni g\mapsto (g,(dR_{g^{-1}})^*(g)(x))\in T^*G$ proporciona un difeomorfismo entre $G$ y $J^{-1}(x)$ por lo que la preimagen $J^{-1}(x)$ es un colector liso.