Dado $f(x)=x^4(2+\sin(1/x))$ para $x\not=0$ y $f(x)=0$ cuando $x=0.$ Entonces tenemos que demostrar que $f$ tiene un mínimo absoluto en $x=0.$
He demostrado que $f$ es diferenciable en $x=0$ considerando $$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}x^3(2+\sin(1/x))=0.$$
Así que tenemos que $f'(0)=0.$ También $f(0)=0$ . Creo que si demuestro que $f(x)\geq 0$ para todos $x\in \mathbb{R}$ entonces podría terminar y así $$0\leq x^4\leq f(x)\leq 3x^4$$ y así $\forall x\in \mathbb{R}$ tenemos que $f(x)\geq 0$ y así $0$ es el mínimo absoluto. Sin embargo, no estoy seguro de que este razonamiento sea correcto, por lo que cualquier aportación al respecto será muy apreciada.
