Tiempo esperado para llenar el cubo con gotas M por primera vez?

Question

Nos dan un cubo vacío. Los siguientes eventos ocurren cada segundo.

• $1$ la gota aumenta en el cubo con la probabilidad $A$ = $1/6$ .
• $1$ disminuye en el cubo con probabilidad $B$ = $1/8$ .
• No pasa nada

¿Cuál es el tiempo previsto para que el cubo se llene de $M$ cae por primera vez (el evento B no puede ocurrir si el cubo está vacío)?

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Mi enfoque: Para un cubo vacío, tengo dos posibilidades :

• 1 aumento de la caída con la probabilidad A.
• No pasa nada.

Así que, para llenar el cubo con $1$ a la primera gota: $1*A + 2*(1-A)*A + 3*(1-A)*(1-A)*A.............$ = $1/A$ = 6 segundos.

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

Dejemos que $E_i$ sea el tiempo previsto para $M$ gotas que se alcanzan desde un estado con $i$ gotas. Entonces la respuesta es $E_0$ en la solución del sistema lineal tridiagonal cuadrado $$\begin{bmatrix} 1/6&-1/6\\ -1/8&7/24&-1/6\\ &&\ddots\\ &&-1/8&7/24&-1/6\\ &&&-1/8&7/24\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_0\\E_1\\\vdots\\E_{M-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}$$ Para $M=1,2,\dots$ los tiempos previstos son $$6,\frac{33}2,\frac{243}8,\frac{1497}{32},\frac{8331}{128},\frac{43425}{512},\dots$$ Para una versión generalizada con probabilidades $A$ y $B$ de ganar y perder una gota respectivamente, las pruebas empíricas dan el tiempo esperado para golpear $M$ cae como $$\frac1A\sum_{k=0}^{M-1}(M-k)\left(\frac BA\right)^k=\begin{cases}\frac B{(A-B)^2}\left(\left(\frac BA\right)^M-1\right)+\frac M{A-B}&A\ne B\\\frac{M(1+M)}{2A}&A=B\end{cases}$$ Por lo tanto, para los parámetros del problema dado, la fórmula es $24(3((3/4)^M-1)+M)$ .