Encontrar la representación paramétrica

Question

Tengo
$ F(x,y) = x^{2}\boldsymbol{i} + xy\boldsymbol{j} $

y dos representaciones paramétricas

$ r_{1}(t) = t\boldsymbol{i} + t^{2}\boldsymbol{j}\quad 0\leq t \leq 1 \ $

$ r_{2}(t) = \sin \Theta \boldsymbol{i}+ \sin^{2}\Theta \boldsymbol{j} \quad 0\leq \Theta \leq \frac{\pi}{2} \\\ $

No tengo problema en encontrar la respuesta para estas dos representaciones paramétricas que es $\frac{11}{15} $ , eso es lo que pide el libro, pero tengo un problema es encontrar otra representación paramétrica que no me arroje ese valor; basándome en lo que dice el teorema de CAMINO Y CAMPOS VECTORES CONSERVADORES: que si F es continua en una región conectada abierta , entonces la integral de línea $\int \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}$ es independiente de la trayectoria si y sólo si $\boldsymbol{F}$ es conservador, entonces en sabe que $F(x,y)$ no es conservador porque

$ \frac{\partial M}{\partial y} = 0 \neq \frac{\partial N}{\partial x } = y $

el ejercicio no me pide otra representación paramétrica, sino que quiero ver el teorema en acción. He intentado usar mathematica, lo que he hecho hasta ahora es graficar $r_{1}(t)$ , $r_{2}(t)$ con este código

ListPointPlot3D[Table[{t, t^2, t^2 + t^3}, {t, 0, 1, 0.01}], Filling -> 0]

ListPointPlot3D[Table[{Sin [x], Sin [x]^2, Sin [x] * Cos [x]  +  2*Sin [x] *Cos [x]} , {x, 0, \[Pi]/2, 0.01}], Filling -> 0]

que gráficamente parece una trayectoria diferente, pero necesito otra representación paramétrica que no me de $\frac{11}{15}$ según el teorema

el ejercicio está tomado de larson calculus 9th, 15.3.1

Answer 1

Intentemos pasar de $(0,0)$ a $(1,1)$ en una curva cúbica. Establecer

$$ r_3(t) = (t,t^3), \,\,\, t \in [0,1]. $$ Entonces

$$ \int_{r_3} x^2 \, dx + xy \, dy = \int_0^1 (t^2 \cdot 1+t\cdot t^3\cdot 3t^2) \, dt = \int_0^1 (t^2 + 3t^6) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{3}{7} = \frac{16}{21}. $$

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Por cierto, el campo vectorial no tiene nada de especial $F$ con la que está trabajando. La razón por la que tiene

$$ \int_{r_1} G(x,y) \, dx + H(x,y) \, dy = \int_{r_2} G(x,y) \, dx + H(x,y) \, dy $$

es que $r_2$ es una reparametrización del camino $r_1$ (A saber, $r_2(t) = r_1(\sin(t))$ ) y las integrales de línea son invariantes bajo reparametrizaciones de las curvas tanto si el campo vectorial $(G(x,y),F(x,y))$ que está integrando es conservador (o localmente conservador). Esto es sólo una expresión de la regla de sustitución de la integración.