Recientemente, respondí a este problema:
Dado $a<b \in \mathbb {R}$ encontrar explícitamente una bendición $f(x)$ de $]a,b[$ a $[a,b]$ .
utilizando una "construcción iterativa" (véase más abajo la regla).
Mi pregunta es: ¿es posible resolver el problema encontrando un menos exótico ¿funcionar?
Quiero decir..: Sé que tal bendición no puede ser monótona, ni globalmente continua; pero mi $f(x)$ tiene un montón de salta... Por lo tanto, ¿puede uno prescindir de tantas discontinuidades?
W.L.O.G. asume $a=-1$ y $b=1$ (el caso general puede ser manejado por traducción y reescalado). Deje:
( 1 ) $X_0:=]-1,- \frac {1}{2}] \cup [ \frac {1}{2} ,1[$ y
( 2 ) $f_0(x):= \begin {cases} -x- \frac {3}{2} & \text {, if } -1<x \leq - \frac {1}{2} \\ -x+ \frac {3}{2} & \text {, if } \frac {1}{2} \leq x<1 \\ 0 & \text {, otherwise} \end {cases}$ ,
para que el gráfico de $f_0(x)$ está formado por dos segmentos (paralelos a la línea $y=x$ ) y un segmento que se encuentra en el $x$ eje; luego se define por inducción:
( 3 ) $X_{n+1}:= \frac {1}{2} X_n$ y
( 4 ) $f_{n+1}(x):= \frac {1}{2} f_n(2 x)$
para $n \in \mathbb {N}$ (por lo tanto $X_n= \frac {1}{2^n} X_0$ y $f_n= \frac {1}{2^n} f_0(2^n x)$ ).
Entonces la función $f:]-1,1[ \to \mathbb {R}$ :
( 5 ) $f(x):= \sum_ {n=0}^{+ \infty } f_n(x)$
es una bendición de $]-1,1[$ a $[-1,1]$ .
Prueba : i . En primer lugar, note que $\{ X_n\}_{n \in \mathbb {N}}$ es una cubierta desarticulada por pares de $]-1,1[ \setminus \{ 0\}$ . Además, el rango de cada $f_n(x)$ es $f_n(]-1,1[)=[- \frac {1}{2^n}, - \frac {1}{2^{n+1}}[ \cup \{ 0\} \cup ] \frac {1}{2^{n+1}}, \frac {1}{2^n}]$ .
ii . Deje que $x \in ]-1,1[$ . Si $x=0$ Entonces $f(x)=0$ por ( 5 ). Si $x \neq 0$ entonces sólo existe uno $ \nu\in \mathbb {N}$ s.t. $x \in X_ \nu $ Por lo tanto $f(x)=f_ \nu (x)$ . Por lo tanto $f(x)$ es bien definido .
iii . Por i y ii , $f(x) \lesseqgtr 0$ para $x \lesseqgtr 0$ y el rango de $f(x)$ es:
$f(]-1,1[)= \bigcup_ {n \in \mathbb {N}} f(]-1,1[) =[-1,1]$ ,
por lo tanto $f(x)$ es surjectiva.
iv . Por otro lado, si $x \neq y \in ]-1,1[$ entonces: si existe $ \nu \in \mathbb {N}$ s.t. $x,y \in X_ \nu $ Entonces $f(x)=f_ \nu (x) \neq f_ \nu (y)=f(y)$ (para $f_ \nu (x)$ restringido a $X_ \nu $ es inyectable); si $x \in X_ \nu $ y $y \in X_ \mu $ Entonces $f(x)=f_ \nu (x) \neq f_ \mu (y)=f(y)$ (para la restricción de $f_ \nu (x)$ a $X_ \nu $ y de $f_ \mu (x)$ a $X_ \mu $ tienen rangos desarticulados); finalmente si $x=0 \neq y$ Entonces $f(x)=0 \neq f(y)$ (debido a ii ). Por lo tanto $f(x)$ es inyectable, por lo tanto una bijección entre $]-1,1[$ y $[-1,1]$ . $ \square $
