Estoy siguiendo la derivación de la sección transversal de dispersión del libro de texto de Peskin y Schroeder. En la página 105, obtenemos una expresión para la sección transversal diferencial:
$$d\sigma = \left(\prod_f \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_f}\right) \int d^2b \left(\prod_{i=A,B} \int\frac{d^3k_i}{(2\pi)^3} \frac{\phi_i(\bf{k_i})}{\sqrt{2E_i}} \int \frac{d^3\bar{k}_i}{(2\pi)^3}\frac{\phi_i^*(\bar{\bf{k}}_i)}{\sqrt{2\bar{E}_i}}\right)\times e^{i\vec{b}(\bar{\textbf{k}}_B-\textbf{K}_B)} \left(_{\text{out}}\langle\{\textbf{p}_f\}|\{\textbf{k}_i\}\rangle_{\text{in}}\right) \left(_{\text{out}}\langle\{\textbf{p}_f\}|\{\bar{\textbf{k}}_i\}\rangle_{\text{in}}\right)^* \tag{4.76}$$ También tenemos dos $\delta$ -funciones disponibles para usar, derivadas anteriormente: $$(2\pi)^2\delta ^{(2)}(k_{B\perp} - \bar{k}_{B\perp}) $$ Desde el $d^2b$ integral y $$(2\pi)^4\delta ^{4}(\sum\bar{k}_i - \sum p_f) $$ De la parte compleja conjugada y la conservación del momento 4.
El texto dice
podemos utilizar estas funciones delta para realizar las 6 integrales sobre $\bar{k}$ . De las 6 integrales, sólo las de $\bar{k}_A^z$ y $\bar{k}_B^z$ requieren algo de trabajo.
El problema
Quería calcular la integral sobre $\bar{k}^x$ , ya que se da a entender que es fácil. Sin embargo, ¡estoy perplejo!
Mi intento
En primer lugar, he separado las partes de (4.76) que considero importantes: $$I = \prod_{i=A,B}\int \frac{d^3\bar{k}_i}{(2\pi)^3} \frac{\phi ^*_i(\bar{\textbf{k}}_i)}{\sqrt{2\bar{E}_i}} $$
Tomando los componentes x y quitando las constantes al frente: $$I^x = \frac{1}{\sqrt{4\bar{E}_A\bar{E}_B}} \int \phi_A(\bar{\textbf{k}}_A^{x})^*\phi_B(\textbf{k}_B^{x})^*\frac{d\bar{k}_A^x}{2\pi}\frac{d\bar{k}_B^x}{2\pi} $$
Al pegar las funciones delta, se cancelan los factores de $\pi$ e ignorando las constantes que saqué al principio ( ¿es correcto eliminar el $\phi$ ? ) me deja: $$I^x = \int d\bar{k_A^x}d\bar{k_B^x}\left( \phi_A(\bar{\textbf{k}}_A^{x})^*\phi_B(\bar{\textbf{k}}_B^{x})^* \delta^{(1)}(k_{B\perp} - \bar{k}_{B\perp})\delta^{(1)}(\sum\bar{k}_i^x - \sum p_f^x)\right)$$
$$I^x = \int d\bar{k_A^x}d\bar{k}_B^x \left(\phi_A(\bar{\textbf{k}}_A^{x})^*\phi_B(\bar{\textbf{k}}_B^{x})^* \delta^{(1)}(k_{B\perp} - \bar{k}_{B\perp})\delta^{(1)}(\bar{k}_A^x + \bar{k}_B^x- \sum p_f^x)\right)$$
Ahora, estoy atascado. Creo que las funciones delta están destinadas a producir factores de energía, pero no sé cómo utilizarlas para ello. Tampoco estoy seguro de lo que significa la primera función delta con el signo perpendicular.
