Si $(8+3\sqrt{7})^n = I + F$ donde $I$ es un número entero y $F$ es una fracción propia, lo que es $I$ ?

Question

Soy principiante en el Teorema Binomial y quiero averiguar el tiempo $I$ es par o impar en $$(8+3\sqrt{7})^n= I+F$$ si se puede expresar como una suma de un Entero $I$ y una fracción propia $F$

¿Cómo podría averiguarlo?

Answer 1

Dejar que el conjunto $a=8+3\sqrt{7}\quad$ y $\quad\bar a=8-3\sqrt{7}$

Desde $(a-8)^2=63$ usted deduce $a,\bar a$ son raíces de $x^2-16x+1=0$ .

Que sería la ecuación característica de la relación de recurrencia lineal

$\begin{cases} f(0)=2\\f(1)=16\\f(n)=16f(n-1)-f(n-2)\end{cases}\quad$ donde $f(n)=a^n+{\bar a}^n$

Ahora bien, observe que $\bar a\approx 0.0627$ así $\bar a^n\to 0$ con extrema rapidez.

Así que $f(n)\sim a^n$ .

Para ser más precisos desde $\bar a>0$ y como $f(n)$ es un número entero, tenemos $\lfloor a^n\rfloor=I=f(n)-1$

Desde $f(n)$ es par (por inducción sólo multiplicamos y restamos términos pares), por lo que $I$ es impar.

Answer 2

Observe que $$\begin{align} (8 +3 \sqrt{7})^n + (8 - 3 \sqrt{7})^n &= \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} 8 ^i (3 \sqrt{7})^{n-i} + \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (-1)^i 8 ^i (3 \sqrt{7})^{n-i} \\ &= 2 \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2i} 8^{2i} 3^{2(n-i)} 7^{n-i} \qquad \text{(the odd numbered terms cancel out)}\\ &= 2 N \end{align}$$ donde $N$ es un número entero positivo. Como $8 - 3 \sqrt{7} \approx 0.06$ tenemos $$(8 +3 \sqrt{7})^n + \epsilon = 2N$$ donde $0 < \epsilon < 1$ .

Así que la parte entera de $(8 +3 \sqrt{7})^n$ es impar.