¿Cómo comprar un coche de forma óptima en este caso?

Question

X tiene un coche. Su valor es desconocido todavía, pero entre 0 y 1000, distribuido uniformemente

Usted ofrece un precio para comprar el coche.

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Si el precio < el valor, no se puede comprar.

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Si el precio >= el valor, puede comprar, dar el precio del dinero a X.

(por ejemplo, si el valor es de 200, y ofrece 300, puede comprar, pero debe dar 300 a X)

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Si su compra tiene éxito, Y le pagará el dinero de 1.5 * value para comprar este coche él mismo.

(por ejemplo, si el valor es de 200, ofreces 300, puedes comprar, dar 300 a X, y luego Y te paga 1,5*200 = 300, y se lleva el coche)

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Creo que, en primer lugar, tengo que definir el caso óptimo, que es que al final gane más dinero que el precio que he ofrecido.

Supongamos que el valor es 200.

Si ofrezco un precio demasiado bajo, no pasará nada, no tiene mucho sentido

Si ofrezco 300, compro el coche y luego lo vendo a Y por 300, al final, sigo teniendo 300, sin cambiar y no tiene mucho sentido.

Si ofrezco 250, al final ganaré 50, esto tiene sentido.

Si ofrezco 400, en realidad pierdo 100, esto es aún peor.

¿Qué debo hacer?

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Actualización

Esto es lo que pienso.

Dejemos que m ser el precio que voy a ofrecer y v sea el valor del coche.

Lo que quiero es que después de todas las cosas (incluyendo que no compro el coche con éxito), el dinero en mi mano sigue siendo al menos m .

Hay tres casos:

1. No puedo comprar el coche, es decir, v > m

Porque 0 <= v <= 1000 la probabilidad de v > m es (1000-m)/1000 .

2. Compro el coche y me sale menos de m al final, es decir, m > 1.5v

La probabilidad es m/1500

3. Compro el coche y obtengo más de m al final, es decir, 1.5v >= m >= v

La probabilidad es 1 - (1000-m)/1000 - m/1500 = m/3000 .

Deseo tener el caso 1 y el caso 3, así que (1000-m)/1000 + m/3000 > m/1500 . resolver esto obtengo 0 <= m <= 791 .

Mientras ofrezca un precio entre 0 y 791, tengo mayor posibilidad de obtener dinero extra. (imagen si juego esto por 10000 veces)

Answer 1

Su estrategia óptima es ofrecer 0, es decir, no comprar el coche. Intuitivamente, puede ver esto porque si paga $p$ comprar el coche a X, hay un 50% de posibilidades de que el valor del coche $v$ es menos de la mitad de $p$ , pero Y sólo te pagará $1.5\times$ $v$ . Necesitarías que Y te pagara al menos $2\times$ $v$ para llegar al punto de equilibrio por término medio.

Se puede hacer más formal definiendo $V$ sea el precio del coche, distribuido uniformemente entre 0 y 1 (trabajar en unidades de 1000 es más fácil). Sea $p$ sea el precio que ofrezca.

Entonces (1) la probabilidad de que el precio sea mayor que el valor es $$P(p \ge V) = p$$ por la definición de la distribución uniforme. El beneficio $r$ en este caso es el dinero que te paga Y, $1.5v$ menos el precio que has pagado $p$ . Si dejamos que $Q$ sea una variable aleatoria para el valor del coche dado que sólo sabemos que el valor es $\le p$ entonces podemos ver que $Q$ se distribuye uniformemente en $(0,p)$ y su expectativa es por tanto $p/2$ . Por lo tanto, la expectativa del beneficio $R$ es $1.5p/2 - p$ .

Caso (2) la probabilidad de que el precio sea inferior al valor es $$P(p < V) = 1-p$$ y el beneficio $R$ en este caso tiene una expectativa de 0 porque no estamos comprando ni vendiendo el coche.

Por lo tanto, por el ley de la expectativa total el beneficio esperado viene dado por el beneficio en cada caso multiplicado por la probabilidad del caso $$ \begin{align} E(R) &= E(R|\mathrm{bought})P(\mathrm{bought}) + E(R|\neg\mathrm{bought})P(\neg\mathrm{bought}) \\ &= (1.5p/2 - p) \times p \;-\; 0 \times (1-p) \\ &= -0.25p^2 \end{align}$$

¡Esto es negativo así que no querrás hacer una oferta! Con un precio $d$ en sus unidades originales de moneda su pérdida esperada sería $0.25(d/1000)^2\times1000 = d^2/4000$ .

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Con respecto a su actualización, las probabilidades parecen correctas. Sin embargo, lo importante es la cantidad de dinero que esperas ganar, no la probabilidad de hacerlo. Por ejemplo, teniendo en cuenta estos dos juegos, ¿a cuál jugarías?

• Tiene un 90% de posibilidades de ganar \$1, and a 10% chance of losing \$ 1 millón.

• Tiene un 10% de posibilidades de ganar \$1million, and a 90% chance of losing \$ 1.

Espero que puedas ver en esto que la probabilidad de terminar con más dinero no es lo más importante: es cómo mucho más dinero que acabas teniendo de media (la expectativa) que es importante.

En tu caso, es fácil ver que la expectativa asociada a los casos 1 y 3 es relativamente baja, porque has incluido el caso 1, en el que no hay cambio de manos. Si supusieras que las ganancias son similares al ganar y al perder, y quisieras fijarte sólo en las probabilidades, compararías el caso 2 (comprar el coche y obtener menos) con el caso 3 (comprar el coche y obtener más), y observarías que $$P(\mathrm{case 2/lose}) = m/1500 > P(\mathrm{case 2/win}) = m/3000$$