Ejercicio 1.5.7 (b) en el análisis de comprensión de Abbott

Question

En la segunda edición, este ejercicio es el siguiente:

Encuentra un mapeo 1-1 de $S$ el cuadrado unitario abierto $\{(x,y) : 0<x,y<1\}$ al intervalo abierto $(0,1)$ . Utiliza el hecho de que cada número real tiene una expansión decimal.

La respuesta que más he visto, y es también la que se me ocurrió, fue considerar las expansiones decimales de $x$ y $y$ , $0.x_1x_2x_3...$ y $0.y_1y_2y_3...$ respectivamente. Mapa $(x,y)$ al número en $(0,1)$ de la forma $0.x_1y_1x_2y_2...$

Dado que los números de la forma $0.a_1a_2...a_n$ son iguales a $0.a_1a_2...a_{n-1}(a_n-1)99999...$ Me he dado cuenta de que esto crea el siguiente problema:

Supongamos que tengo $(.2,.7)$ que es igual al par $(.1999...,.6999...)$ . Al aplicar el mapeo anterior a ambos, se mapean a $.27$ y $.16999...$ respectivamente. Dado que $.16999...$ es lo mismo que $.17$ Esto significa que los pares ordenados $(.1,.7)$ y $(.2,.7)$ se asignan al mismo elemento de $(0,1)$ . ¿Entonces no es 1-1? ¿Se evita este problema con sólo referirse a $x$ y $y$ ¿la expansión decimal finita, si es que existe?

Answer 1

Y lo que es más importante, esto nos dice que el mapeo no está bien definido y, por tanto, no es una función. (En el enunciado del problema de mi copia de este libro se exige que este mapeo sea una función).

Es decir, los pares $(.2,.7)$ , $(.1999...,.6999...)$ cada uno de ellos mapea a números distintos, aunque los pares sean los mismos.

Tal vez alguien más pueda arrojar algo de luz sobre esto, ya que las pruebas que he visto para esto hacen lo mismo que tú, pero nunca comprueban que el mapeo esté bien definido en primer lugar, lo que haría que el argumento no fuera válido.

Answer 2

Tal vez "mapeo 1-1" sólo significa inyectivo.

En este caso se omiten todos los decimales "finitos" y se representa ${1\over2}$ como $0.49999\ldots\ $ . Haciendo su construcción obtendrá entonces un único decimal para cada par $(x,y)\in S$ pero no obtendrá todos los números en $(0,1)$ . Por ejemplo, el número $0.3510401050902060\ldots$ no aparecerá en la imagen.

Answer 3

Tienes razón. Él da esto como la solución en el manual de soluciones, pero no es correcto. Incluso su propio ejemplo para "tener en cuenta" no pasa. Usted puede arreglar esto eligiendo el mapa $0.x_1 y_1 0 x_2 y_2 0 x_3 y_3 0 ...$ de tal manera que nunca se obtendrá una secuencia infinita de 9's y por lo tanto no se podrá jugar.