¿Puede un funcional ser linealmente independiente de una función?

Question

Definir $f(x)$ como cualquier función real en un espacio de producto interno, $f(x) = 0$ cuando $|x|>c, c \in \mathbb{R}$

y $g(f)$ es el mapeo entre la curva $f$ y número real.

$ f,g \in \mathbb{R}$

Podemos definir el producto interior como $ \langle h,g\rangle = \int_\infty h(f(x))g(f(x)) dx $

$h(f(x))$ podría ser algo tan trivial como $h(f(x))=1\times f(x)$

Y es obvio que $h$ y $g$ podría ser linealmente dependiente en algunos casos...

Es difícil imaginarlo en la mente, ya que los funcionales y las funciones parecen bestias diferentes.

¿Pero las matemáticas le han dicho al novato en matemáticas que eso es cierto?

Answer 1

Sugerencia

La simetría (conjugada) es una de las propiedades exigidas a un producto interior:

$$<f,g> = \overline {<g,f>}$$

para los números reales, se puede omitir el conjugado ya que cada número real es su propio conjugado:

$$<f,g> = {<g,f>}$$

De todos modos esto nos lleva a: $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(f(x)) dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(g(x)) dx$$

Que se debe exigir para todos los pares de funciones que pertenecen a algún conjunto de funciones que constituyen su espacio. ¿Qué espacio podría ser?