Usando el Teorema de Moivre para derivar la relación...

Question

Debo utilizar el Teorema de De Moivre para derivar la siguiente relación, aunque no sé exactamente por dónde empezar:

$$\sin(3 \theta) = -4 \sin^3(\theta) + 3\sin(\theta)$$

Gracias de antemano.

Answer 1

Bueno, el teorema de DeMoivre nos dice que $$\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$$ para todos los enteros $n.$ Considere en particular cuando $n=3,$ y expande el cubo perfecto para ver qué pasa. No olvides tus identidades trigonométricas....

Answer 2

Esta respuesta repasa la mayoría de los pasos, pero he ido bastante rápido, así que habrá que repasar un poco. Es correcta, pero haz el trabajo de la misma :-)

Teorema de De Moivre:

$$ (\cos{(x)} + i\sin{(x)})^{n} = \cos{(nx)} + i\sin{(nx) } $$

Dejemos que $n = 3$ y utilizar un poco el teorema del binomio:

$$\cos^{3}{(x)} + 3i\cos^{2}{(x)}\sin{(x)} - 3\cos{(x)}\sin^2{(x)} - i\sin^{3}{(x)} = \cos{(3x)} + i\sin{(3x)}$$

Ahora tenemos una identidad de algún tipo, intentemos ampliarla $\cos{(3x)}$ y ver qué pasa:

$$ \cos{(2x + x)} = \cos{(2x)}\cos{(x)} - \sin{(2x)}\sin{(x)} \\ = \cos^3{(x)} - \sin^2{(x)}\cos{(x)} - 2\sin^2{(x)}\cos{(x)} $$

Eso parece bastante prometedor. Así que pongamos eso y dejemos la identidad que queremos por su cuenta en el otro lado.

$$ i\sin{(3x)} = 3i\cos^2{(x)}\sin{(x)} - i\sin^3{(x)} $$

Ahora bien, tenga en cuenta que $\cos^2{(x)} = 1 - \sin^2{(x)}$ y se obtiene la respuesta.