Describiendo todos los puntos a 4000 millas del polo norte

Question

Me gustaría describir todos los puntos de la superficie de la Tierra que están exactamente a 4000 millas del Polo Norte. Sé que esto me dará eventualmente una ecuación para un círculo; quiero encontrar esa ecuación asumiendo que el radio de la Tierra es de 3960 millas y que el centro de la Tierra está en $(0,0)$ . Empecé dibujando algunos triángulos: del centro de la Tierra al Polo Norte es un lado, del centro a la superficie es otro, y del Polo Norte a la superficie es el tercero. Las longitudes de estos lados son 3960, 3960 y 4000 respectivamente.

El uso de la ley de los cosenos debería permitirme encontrar el tamaño de cada ángulo, pero no estoy obteniendo ángulos que sumen 180. Obtengo aproximadamente $60.9908^\circ$ para el ángulo opuesto al lado 4000 y sobre $59.6653^\circ$ para los otros dos ángulos, lo que suma $180.321^\circ$ . No he hecho ningún redondeo; ¿es sólo un problema de mi calculadora que comete algunos errores internos de redondeo? Por lo general, copiar y pegar los decimales largos hace que todo funcione bien hasta el final, pero este es un error bastante significativo (al menos en mi opinión).

Cuando intento encontrar el radio (que creo que debería ser igual a la altitud que va desde la superficie hasta el lado que une el centro y el Polo Norte), obtengo diferentes valores dependiendo de los ángulos que utilice, lo cual no me gusta mucho. ¿Hay alguna manera de resolver esto? ¿Estoy pensando de manera equivocada?

Edición: Resulta que en lugar de obtener 60,9908 $^\circ$ Debería haber obtenido 60,669 $^\circ$ que resuelve todos mis problemas. Espero que el problema resulte interesante para alguien más.

Answer 1

Por desgracia, este método requiere cierta familiaridad con las funciones paramétricas. Sin embargo, ofrece una respuesta más precisa al considerar la distancia a lo largo de un gran círculo en lugar de la distancia en línea recta.

Motivado por coordenadas esféricas sabemos que la tierra puede ser descrita por la siguiente función paramétrica:

$$f(u, v) = \left[ \begin{array}{ccc} 3960\cos(u)\sin(v) \\ 3960\sin(u)\sin(v)\\ 3960\cos(v)\end{array} \right]$$

Dónde $3960$ es el radio de la tierra y $u$ y $v$ son ángulos tales que $0 \leq u \leq 2\pi$ y $0 \leq v \leq \pi$ . En particular, piense en $v$ como un ángulo medido con respecto al polo sur que codifica la latitud de su punto. Es decir, si estás en el polo norte, entonces $v = 0$ . Si estás en el ecuador, entonces $v = \frac{\pi}{2}$ y si estás en el polo sur, entonces $v = \pi$ .

Ahora bien, sabemos que la circunferencia de la tierra viene dada por $c = 2\pi \cdot 3960$ millas, por lo que la mitad de la circunferencia es $\pi \cdot 3960$ millas. Si viajamos $4000$ millas del polo norte, entonces hemos viajado $\frac{4000}{\pi \cdot 3960} \approx 0.3125$ la distancia total del polo norte al polo sur. Por lo tanto, en el círculo de latitud, $v =0.3125\pi$ radianes.

Ahora podemos introducir este valor de $v$ en la función original de arriba para obtener:

$$f(u) = \left[ \begin{array}{ccc} 3960\sin(0.3125\pi)\cos(u) \\ 3960\sin(0.3125\pi)\sin(v)\\ 3960\cos(0.3125\pi)\end{array} \right]$$

Ahora, observe que el $z$ coordenada es sólo una constante. Simplemente te da la distancia desde el centro de la tierra al centro del círculo de latitud (es decir, su "altura"). Si está acostumbrado a las funciones paramétricas, entonces reconocerá rápidamente la $x$ y $y$ coordenadas como la descripción de un círculo de radio $3960\sin(0.3125\pi) \approx 3292.61966$ millas, ¡que es lo que estabas buscando!

Answer 2

Cuando hago la ley de los cosenos en un $3960-3960-4000$ triángulo, obtengo el ángulo opuesto $4000$ para ser $\arccos 1-\frac{4000^2}{2\cdot 3960^2}\approx \arccos 0.48984798 \approx 60.669410^\circ$ y el ángulo opuesto $3960$ para ser $\arccos \frac {4000}{2 \cdot 3960} \approx \arccos 0.5050505051 \approx 59.665295^\circ$ . Los tres ángulos suman $180^\circ$ dentro del error de redondeo. No has mostrado cómo has calculado los ángulos, así que no puedo adivinar dónde está el error.