No debería $t^n : \mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^1$ se ramifica en $0$ ?

Question

Yo, esta es probablemente la pregunta más estúpida que he hecho aquí.

Dejemos que $$\varphi: \mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^1$$ sea el mapa de esquemas (sobre un campo $k$ ) tal que $\varphi (x) = x^n$ . En otras palabras, $$\varphi^{\#}: k[t] \rightarrow k[t]$$ satisface $\varphi^{\#} (t) = t^n$ . Intuitivamente, este debería ser el mapa más estúpido que no está ramificado en ninguna parte excepto en $0$ . Sea $(t)$ sea el punto cero. Localización en $(t)$ invierte todo polinomio con un término constante invertible y cotizando por $k[t]_{(t)}(t)$ mata todos los términos superiores, quedando sólo el término constante. Así que a nivel de campos de residuos $$\varphi^{\#}_{(t)}: k \rightarrow k$$ es la identidad, que es ciertamente separable.

En general, parece que si $\varphi: X \rightarrow X$ es un mapa de $S$ -esquemas tales que fija un punto $x \in X$ , entonces puntualmente $\varphi_x : \kappa (x) \rightarrow \kappa (x)$ es siempre separable.

Ciertamente estoy cometiendo un error terriblemente estúpido. ¿Qué es lo que pasa?

Gracias de antemano.

Answer 1

Repasemos esta situación según el mapa de los anillos locales y veremos en qué difieren las cosas de tu argumento.

Nombra el primer $\mathbb{A}^1$ $X$ y el segundo $Y$ para que nuestro mapa sea $\varphi:X\to Y$ . El mapa correspondiente en anillos locales es $\varphi^\#: \mathcal{O}_{Y,\varphi(x)}\to \mathcal{O}_{X,x}$ . Sea $\mathfrak{m}\subset \mathcal{O}_{Y,\varphi(x)}$ sea el ideal máximo, y que $\mathfrak{n}=\varphi^\#(\mathfrak{m})\mathcal{O}_{X,x}$ el ideal generado por la imagen de de $\mathfrak{m}$ en $\mathcal{O}_{X,x}$ .

El mapa es unramificado si es localmente de tipo finito y si para todo $y\in Y$ , $\mathfrak{n}$ es el ideal máximo de $\mathcal{O}_{X,x}$ y el mapa obvio $\mathcal{O}_{Y,\varphi(x)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{n}$ es una extensión de campo separable finito.

El mapa es claramente de tipo finito. 1/3 hasta ahora.

Comprobemos si $\mathfrak{n}$ es el ideal máximo: $\mathfrak{m}$ es principal y se genera por $t$ Así que $\varphi^\#(\mathfrak{m})\mathcal{O}_{X,x}=\varphi^\#((t))k[t]_{(t)}=\varphi^\#(t)k[t]_{(t)}=(t^n)k[t]_{(t)}=(t^n)$ que no es máxima. ¡Fallo!

Su argumento estaría bien si tuviera algún tipo de garantía de que $\mathfrak{n}$ era máxima, pero tú no. Su cálculo sólo es válido para el caso de que $\mathfrak{n}$ es el ideal máximo de $\mathcal{O}_{X,x}$ .

Answer 2

Dejemos que $f:X\rightarrow Y$ sea un morfismo localmente de tipo finito. Entonces decimos que $f$ no está ramificado en $x$ si $$\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{f(x)}\mathcal{O}_{X,x}$$ es una extensión separable finita de $k(f(x))$ .

Así que su argumento es erróneo, debido a una definición incorrecta, lo que ya fue señalado en los comentarios. Asumiendo tu "definición" de morfismo no ramificado puedes, por ejemplo, "demostrar" que cualquier morfismo cuasi-finito de esquemas que son localmente de tipo finito sobre un campo de característica cero es no ramificado, porque para tales morfismos: $$k(f(x)))\rightarrow k(x)$$ es siempre finito y separable (característica cero).

Considera tu mapa: $$\phi:k[t]\rightarrow k[x]$$ dado por $$\phi(t)=x^n$$ Entonces el morfismo inducido en anillos locales: $$k[t]_{(t)}\rightarrow k[x]_{(x)}$$ envía: $$\frac{t}{1}\mapsto \frac{x^n}{1}$$ Así que en este caso se deriva: $$k[x]_{(x)}/x^nk[x]_{(x)}\cong k[x]/(x^n)$$ que ni siquiera es un campo.