¿Podemos pensar en el tensor EM como un generador infinitesimal de transformaciones de Lorentz?

Question

Hago esta pregunta porque me siento un poco confundido sobre cómo se relacionan las transformaciones de Lorentz con el tensor electromagnético, y espero que alguien pueda ayudarme a aclarar mis posibles malentendidos. Por favor, disculpadme si la respuesta es obvia.

En la relatividad especial, el campo EM se describe mediante el tensor

$$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0 & -E_{x} & -E_{y} & -E_{z}\\ E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y}\\ E_{y} & B_{z} & 0 & -B_{x}\\ E_{z} & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{pmatrix}$$

que es una matriz antisimétrica. Entonces, recordando la correspondencia uno a uno entre las matrices asimétricas y las matrices ortogonales establecida por La transformación de Cayley se podría considerar este tensor como una matriz de rotación infinitesimal, es decir, un generador de pseudo-rotaciones de 4 dimensiones. Esto parece a primera vista natural: dado que las 4-velocidades del espacio-tiempo y los 4-momentos para una partícula de masa fija tienen normas fijas de 4-vectores, todas las fuerzas (incluyendo EM) y aceleraciones sobre la partícula serán transformaciones de Lorentz. Sin embargo, esta página es la única referencia que he encontrado que establece dicha relación (y no entiendo del todo la discusión que sigue, lo que me parece algo desconcertante).

• ¿Es correcto este razonamiento?

Por otra parte, según Wikipedia una transformación general de Lorentz puede escribirse como una exponencial,

$$\mathbf \Lambda(\mathbf ,\mathbf ) = e^{-\mathbf \cdot \mathbf K + \mathbf \cdot \mathbf J}$$

donde (estoy citando) $\mathbf J$ son los generadores de rotación que corresponden al momento angular, $\mathbf K$ son los generadores de impulso que corresponden al movimiento del sistema en el espaciotiempo, y el vector eje-ángulo $\mathbf $ y el vector de rapidez $\mathbf $ son en total seis variables continuas que constituyen los parámetros del grupo en esta representación particular (aquí el grupo es el grupo de Lie $SO^+(3,1)$ ). Entonces, el generador para una transformación general de Lorentz puede escribirse como $$-\mathbf \cdot \mathbf K + \mathbf \cdot \mathbf J = -_xK_x - _yK_y - _zK_z + _xJ_x + _yJ_y +_zJ_z = \begin{pmatrix}0&-\zeta_x&-\zeta_y&-\zeta_z\\ \zeta_x&0&-\theta_z&\theta_y\\ \zeta_y&\theta_z&0&-\theta_x\\ \zeta_z&-\theta_y&\theta_x&0\end{pmatrix}.$$

• ¿Cómo se relaciona esta matriz con el tensor EM? Por comparación entre las dos matrices, parece que las componentes del campo eléctrico y magnético ( $\mathbf E$ y $\mathbf B$ ) deben vincularse, respectivamente, con $\mathbf $ y $\mathbf $ . Me falta saber cuál sería la interpretación física de esto.

Answer 1

Físicamente, lo único que tienen en común el tensor de campo electromagnético y un generador de transformación de Lorentz es que ambos resultan ser tensores antisimétricos de rango 2. El enlace no va más allá de eso.

Sin embargo, esta coincidencia da lugar a algunas analogías. Por ejemplo, si se conocen las transformaciones de Lorentz, se sabe que un tensor antisimétrico de rango 2 contiene dos vectores triples en su interior, a saber $\boldsymbol{\zeta}$ y $\mathbf{K}$ . Entonces, si alguien te dice que el campo electromagnético es el mismo tipo de tensor, sabrás automáticamente que se puede descomponer en dos tres vectores, a saber, los campos eléctrico y magnético. Pero esto es una analogía puramente matemática.

Un resultado más físico proviene de la ecuación del movimiento $$\frac{d u_\mu}{d\tau} = (q/m) F_{\mu\nu} u^\nu.$$ donde $u^\mu$ es la cuatro-velocidad; puedes expandir esto en componentes para verificar que es sólo la ley de fuerza de Lorentz. Ahora, comparando esto con una transformación de Lorentz infinitesimal (activa) $$\Delta u_\mu = \Lambda_{\mu\nu} u^\nu$$ vemos que la fuerza de Lorentz es equivalente a una transformación de Lorentz activa que actúa sobre la cuatro-velocidad, con la generatriz $(q/m) F_{\mu\nu}$ .

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Podemos hacer algunas comprobaciones rápidas de cordura:

• Los campos magnéticos provocan rotaciones. Si partimos de una velocidad de tres ceros y aplicamos un campo magnético, la velocidad gira.
• Los campos eléctricos provocan aumentos. Si aplicamos un campo eléctrico, la triple velocidad crece en la dirección del campo, al igual que lo hace en la dirección de un impulso.

Dos advertencias a este resultado:

• Como se indica en el enlace que has dado, este resultado no permite pensar en el electromagnetismo como un fenómeno geométrico, porque diferentes partículas tienen diferentes valores de $q/m$ y, por lo tanto, actúan con diferentes transformaciones de Lorentz. Es sólo una bonita heurística.
• Ten cuidado de distinguir entre las transformaciones de Lorentz activas y pasivas. La mayoría de las que te encontrarás son pasivas (es decir, se utilizan para cambiar entre sistemas de coordenadas), pero como señala ACM, dichas transformaciones se describen mediante matrices , no tensores. Arriba, estoy considerando rotaciones activas y aumentos, y todo está teniendo lugar en un solo sistema de coordenadas.

Answer 2

El tensor de intensidad de campo electromagnético es no un generador de Lorentz.

En primer lugar, aunque se escriba en forma de matriz, los signos son incorrectos. Los generadores de boost son de la forma $$ \begin{pmatrix} 0 & v_x & v_y & v_z \\ v_x & 0 & 0 & 0 \\ v_y & 0 & 0 & 0 \\ v_z & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$$ que son no antisimétrico.

En segundo lugar, el tensor EM es no una matriz, es una 2 forma $F = F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \wedge\mathrm{d}x^\mu$ mientras que los generadores de Lorentz son matrices reales, no coeficientes de una forma. Escribiendo $F_{\mu\nu}$ como una matriz no refleja su naturaleza geométrica. No genera transformaciones de Lorentz, sino que se transforma bajo ellas como un 2-tensor ordinario.