Prueba de que $\sum_{i=1}^n{1} = n$ para todos $n \in \Bbb Z^+$

Question

Parece obvio que $$\forall n \in \Bbb Z^+, \sum_{i=1}^n{1} = n $$

Sin embargo, tengo problemas para encontrar una prueba formal para esto.

Dado un número concreto como $4$ podemos decir que $$\sum_{i=1}^4{1} = 1+1+1+1 = 2+1+1=3+1=4$$ por las definiciones de suma, 2, 3 y 4. Pero, ¿cómo podemos demostrar formalmente esto para un número entero positivo arbitrario?

Me pregunto si podemos utilizar las definiciones de la multiplicación y la identidad multiplicativa, pero no estoy seguro.

Answer 1

Una pista: Usa la inducción.

Para empezar, supongamos que tenemos la declaración $$ S(n) : \sum_{i=1}^n 1 = n $$ que usted está tratando de probar. Arreglar algunos $k\geq 1$ y asumir $$ S(k) : \sum_{i=1}^k 1 = k $$ es cierto. Entonces tenemos que demostrar que $$ S(k+1) : \sum_{i=1}^{k+1} 1 = k+1 $$ sigue. Empezando por el lado izquierdo de $S(k+1)$ , \begin{align} \sum_{i=1}^{k+1} 1 &= \sum_{i=1}^k 1 + 1\tag{using definition of $\Sigma$}\\[1em] &= k + 1\tag{by $S(k)$}, \end{align} llegamos al lado derecho de $S(k+1)$ .

El resultado, por tanto, se deduce por inducción matemática.