¿Es el elemento de línea matemáticamente rigurosa?

Question

Sé diferenciales (en una forma de análisis estándar), no son muy rigurosos en las matemáticas, hay un montón de increíbles respuestas aquí sobre el tema.

Pero, ¿qué acerca de la línea de elemento?

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2 $$

La forma en que pienso acerca de esta línea es el elemento de ser geométricamente construido a partir de teorema de Pitágoras: $$\Delta s^2 =\Delta x^2 + \Delta y^2 +\Delta z^2$$ y, a continuación, suponemos que podemos obtener estas cantidades ($\Delta x$) para ser infinitesimalmente pequeño (tan pequeño como nos gusta) y representan como $dx$ en lugar de eso, ¿verdad?

Ahora deja que el tome la línea elemento en una esfera: $$ds_2 ^2=r^2sin^2(\theta)d\phi^2 + r^2d\theta ^2$$

Es geométricamente construido usando de nuevo el teorema de Pitágoras y suponiendo que los lados de un 'triángulo' son pequeños:

$$\Delta s_2 ^2 \approx (rsin(\theta)\Delta \phi)^2 + (r\Delta\theta)^2$$

Pero esta aproximación nunca realmente se convierte en la igualdad, el menor de los ángulos que mejor funciona, pero todavía no de la igualdad! La gente simplemente reemplace $\Delta->d$ e decir $ds$ y dicen que es diferencial.

Supongo que mi pregunta es esta:

cuando escribimos algo como $$ds_2 ^2=r^2sin^2(\theta)d\phi^2 + r^2d\theta ^2$$ en realidad tenemos en cuenta que esta cantidad contiene los términos de orden superior, pero desaparecerán después de parametrise? Creo que sobre parametrisation de una manera: $$\frac{ds_2^2}{dt^2}=r^2sin^2(\theta)\frac{d\phi^2}{dt^2} + r^2\frac{d\theta^2}{dt^2}$$

Answer 1

diferenciales (en una forma de análisis estándar), no son muy rigurosos en matemáticas

Estándar o no tiene nada que ver con ella.

Las operaciones en el diferencial de notación son totalmente riguroso en el estándar de matemáticas, bien definida como la representación de las propiedades de las funciones diferenciables. Si desea que los diferenciales de sí mismos para ser los objetos matemáticos que cumplir las normas de la diferencia de la notación, que se puede hacer (y de hecho, en diferentes formas útiles) en el estándar de matemáticas. Robinson NSA es sólo una opción.

esta aproximación nunca realmente se convierte en la igualdad, el menor de los ángulos que mejor funciona, pero todavía no de la igualdad!

Eso es cierto en todas las formas de infinitesimales razonamiento excepto aquellos con nilpotents (el cual puede ser definido mediante la afirmación de que el orden de $k$ Taylor aproximaciones son la igualdad, para un valor seleccionado de $k$). Los cálculos son siempre "hasta los términos de orden superior".

en realidad tenemos en cuenta que esta cantidad contiene los términos de orden superior, pero desaparecerán después de parametrise?

Hemos de tener en cuenta que sólo un número finito de término principal de orden se calcula al final, y el resto es un término de error que es cualitativamente menor en el sentido de que se desvanece en el límite, o es infinitesimal o nilpotent o no-no-cero (que son algunos de los significados de "cualitativamente más pequeños" a los que se asigna en diferentes formalizaciones de infinitesimales razonamiento). Por ejemplo, el producto de la regla de $d(FG) = (dF)G + F(dG)$ es cierto sólo hasta el segundo orden de los términos, lo que significa ignorar $(dF)(dG)$ como algo que no va a contribuir a que el resultado final a la hora de calcular cierta cantidad como $d(FG)/dt$. Si usted no desea que la limitación o infinitesimal respuesta, pero de un número finito de cambio en $FG$ sobre un intervalo finito de $t$, entonces el producto de la regla de que es falso y que los términos de orden superior se deben tener en cuenta. El cálculo de la reglas son sólo para el manejo de los principales términos en asintótica cálculos que se convierten en "exacta en el límite".

Answer 2

Sobre los diferenciales de por sí, la respuesta de xyz debe aclarar su pregunta. Además, la respuesta de user10676 resuelve la cuestión relativa a la línea de elemento. Para aquellos que no saben mucho acerca de la geometría de Riemann permite ampliar un poco en user10676 la respuesta:

Piensa un momento acerca de las líneas. Una manera posible de ver una línea (recta) segmento de $l$ $x$ $y$en el espacio euclidiano es que $l$ realiyes el más corto de la curva de$x$$y$. Por lo tanto, podemos pensar de segmentos de línea en $\mathbb{R}^3$ menor conexiones entre dos puntos. Desde un punto de vista abstracto: El espacio Euclidiano $\mathbb{R}^3$ es un espacio métrico con respecto a la habitual métrica euclidiana (donde el $x_i, y_i$ son las componentes del vector) $$d(x,y)= \sqrt{\sum_{i=1}^3 (x_i-y_i)^2}$$ (este es sólo el resumen de la fórmula para su teorema de pitágoras). Esta métrica es inducida por el producto escalar euclídeo $\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^3 x_iy_i$ través $d(x,y) = \sqrt{\langle x-y,x-y\rangle}$. Ahora la derivada $\frac{d}{dt}|_{t=s} c(t)$ de un (diferenciable) de la curva de $c\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$ se obtiene un vector en $\mathbb{R}^3$ en cada punto de $s$. Podemos medir su longitud usando la métrica euclidiana. Para su línea recta de $x$ $y$la derivada es $y-x$ (y su longitud es la distancia euclidiana). Como se aprende en un curso de cálculo para diferenciable de las curvas de la longitud se calcula exactamente como se describe en el post de user10676. En nuestro caso, la línea de $x$ $y$dada por $c(t)=x+t(y-x)$: $$\ell(c) = \int_0^1 \sqrt{\langle y-x,y-x\rangle}= (1-0)\sqrt{\sum_{i=1}^3 (x_i-y_i)^2}=d(x,y)$$ Observe que podemos identificar en el medio plazo en la ecuación de arriba con una suma de los $(dx_i)^2$ en user10676 la respuesta. Sin embargo, hemos utilizado una gran cantidad de la estructura en $\mathbb{R}^3$. En una forma esencial de la construcción depende de la $\mathbb{R}^3$ (finito dimensionales) espacio vectorial. Esto fue utilizado de la siguiente manera:

Calculamos la derivada (que luego resultó ser en cada punto de un vector en el mismo espacio vectorial). A continuación, se midió la longitud de la derivada con el producto escalar euclídeo.

Obviamente, la esfera no es un espacio vectorial, por lo que no podemos copiar exactamente lo que estaba pasando en $\mathbb{R}^3$. ¿Cuál debe ser nuestra intuición geométrica para un segmento de línea? Debe ser una línea recta, es decir, la unión más corta entre dos puntos $x$ $y$ sobre la esfera. Para medir la longitud de (diferenciable) de las curvas nos gustaría copiar el truco en el espacio vectorial: Calcular los derivados y medir su longitud.

La respuesta al primer problema es poner un natural diferenciable de la estructura de la esfera. En palabras de fantasía: La esfera de $\mathbb{S}^2$ $\mathbb{R}^3$ es un buen colector de modelado en $\mathbb{R}^2$. Para las curvas en esos objetos que uno puede calcular derivados. En nuestro ejemplo: La derivada de una curva de $c\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{S}^2$ $s \in \mathbb{R}$ es un elemento en el espacio de la tangente en $c(s)$. Geométricamente esto es un vector en el plano tangente de $\mathbb{S}^2$ en el punto de $c(s)$. Ahora hemos derivados y queremos calcular su longitud. Así llegamos al segundo problema: ¿Cómo podemos calcular la longitud?

Respuesta: geometría de Riemann. Simplemente hablando de la medición de la longitud de la tangente a los planos deberán estar relacionados con la suave estructura de la esfera, la forma en que medimos la longitud de la tranquilidad dependen suavemente en el punto de referencia del espacio de la tangente. La manera correcta de hacerlo es usando una métrica de Riemann (y de la fórmula de salir es exactamente el proporcionado por user10676). No voy a entrar en detalles ya que este problema es más complicado y hay muy buenos libros sobre geometría de Riemann que explicar. Si usted está interesado en la métrica de los aspectos (sin mucho geometría de Riemann) recomiendo:

M. R. Bridson y A. Haefliger: Métrica Espacios de No-Curvatura Positiva

Los primeros capítulos se derivan exactamente las fórmulas para los segmentos de línea y ponerlo en una perspectiva muy agradable.

Answer 3

[Este es el mejor considerado como un comentario, pero un poco demasiado largo el post como uno]

Yo no soy un experto en este tema, pero te puedo dar una referencia de los que puede encontrar útiles. El libro que tengo en mi colección se llama "Un manual de Análisis Infinitesimal" por John L. Bell. Es un enfoque alternativo para el análisis real que rigurosamente se desarrolla una idea de un infinitesimal, que es diferente de la de Robinson. El enfoque es intrínsecamente basado en la lógica constructiva (niega la ley de medio excluido); así, la "admisible funciones' que puedes ver son muy diferentes de los que te encuentras en el análisis clásico.

El sistema de numeración que se desarrolla no es un buen campo---se comporta mucho como $\mathbb{R}[x]/(x^2)$. Por lo tanto contiene un subcuerpo isomorfo a $\mathbb{R}$, pero alrededor de cada punto es un 'infinitesimal barrio.' A diferencia de Robinson enfoque de los elementos en la infinitesimal barrio de alrededor de 0 plaza a 0.

También hay una marcada diferencia en la filosofía. Este enfoque no considera $\mathbb{R}$ como un montón de puntos apretados juntos, sino más bien un montón de infinitesimales de los segmentos de línea superposición y mezcla juntos (creo que esta idea se formaliza lo que usted está tratando de capturar). Y las gráficas de las funciones a partir de este sistema son vistos como 'inclinación' estos segmentos de línea. Y la derivada en un 'punto' es la inclinación de la infinitesimal barrio que contiene ese punto.

Si no te importa que te pregunte, ¿qué no lo es "riguroso" sobre Robinson sistema?

Answer 4

Sí es matemáticamente rigurosa. Un elemento línea está dada por un Riemanian métrica.

Recordemos que una forma diferenciada en un espacio vectorial $V$ es un mapa de ${\mathbb R}^2 \rightarrow V^*:={\rm Hom}(V,{\mathbb R})$, un Riemanian métrica es un mapa de $g:V \rightarrow {\rm Sym}(V^*)$ que en todas partes es definido positivo, y su longitud elemento $ds$ es la raíz cuadrada de $g$. Dado un Riemanian métrica $g$ y una parametrización de la curva de $\gamma$, su longitud es de $\int_{\gamma} ds := \int_0^1 \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t))} dt$ (que es independiente de la parametrización).

En el caso de $V:={\mathbb R}^3$, $dx,dy,dz$ la costumbre de formas diferenciales, sus plazas $(dx)^2,(dy)^2,(dz)^2$ son mapas de ${\mathbb R}^2 \rightarrow {\rm Sym}(V^*)$ y su suma da a la métrica usual.

Mismo para la esfera ${\mathbb S}^2$. El diferencial de $\theta$ $\phi$ son de 1-formas $d\theta, d\phi :{\mathbb S}^2 \rightarrow T^*({\mathbb S}^2)$ y el mapa de $r^2 \sin^2\theta.(d\theta)^2 + r^2 (d\phi)^2 : {\mathbb S}^2 \rightarrow {\rm Sym }(T^*{\mathbb S}^2)$ es el habitual Riemanian métrica.

Answer 5

Respuesta corta: la línea/área/volumen de los elementos son una divertida manera de describir el efecto local sobre las medidas de un cambio de variable/parametrización.

Menos respuesta corta:

En el caso lineal, $T:{\Bbb R}^n\longrightarrow{\Bbb R}^n$, $A\subset{\Bbb R}$ medibles, tenemos la exacta igualdad: $${\rm measure}(T(A))=|\det T|{\rm measure}(A).$$ En el diferenciable caso, como diferenciable es aproximadamente lineal ($f(x)\approx Df(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$), la relación es sólo aproximado: $${\rm measure}(f(A))\approx|\det Df(x_0)|{\rm measure}(A),$$ "cerca de" $x_0$ ($x_0\in A\subset B(x_0,\epsilon)$). Tomando límites y con un trivial prueba tenemos el teorema de cambio de variable. La situación en el caso de que el proceso de parametrización es similar. Por ejemplo, en el caso de una curva $$\gamma:[a,b]\longrightarrow{\Bbb R}^n,$$ $|\gamma'(t)|$ es el factor local de la transformación de las duraciones.