Demuestra que $\int_{x}^{x+c} f(t) dt$ es continua

Question

Demuestra que $F(x) =\int_{x}^{x+c} f(t) dt$ es continua si $f$ es continua, acotada. ¿Es esto cierto?

Aquí está mi intento:

$|F(x) - F(y)| = |\int_{x}^{x+c} f(t) dt - \int_{y}^{y+c} f(t) dt|$ . Por un cambio de variables si $y = x+r$ entonces la ecuación anterior se convierte en $|\int_{x}^{x+c} f(t) - f(t-r) dt|$ . Ahora para $\epsilon>0$ hay un $\delta$ de tal manera que como $|r| < \delta$ entonces $|f(t) - f(t-r)|< \epsilon$ . Por lo tanto, es menos que $c\epsilon$ . ¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

No es un mal intento, pero necesita algo de limpieza.

En primer lugar, creo que quieres decir $$\left|\int_x^{x + c} f(t) - f(t + r) \;\mathrm{d}t\right|.$$

En segundo lugar, también pareces estar asumiendo una continuidad uniforme. En general, el $\delta > 0$ tal que $|r| < \delta \implies |f(t) - f(t + r)|$ dependerá del valor de $t$ . Podría encogerse como $t$ se mueve a lo largo del intervalo.

Sin embargo, esto tiene fácil arreglo. Se puede apelar al hecho de que las funciones continuas sobre intervalos compactos son uniformemente continuas. Si se elige un intervalo $[a, b]$ que contiene $[x, x + c]$ y $[y, y + c]$ entonces $f$ es uniformemente continua en ese intervalo, por lo que la lógica funciona.

En tercer lugar, creo que hay que poner los pasos en el orden adecuado. Empieza por suponer $\varepsilon > 0$ . Utilizando la continuidad uniforme, se puede encontrar un $\delta > 0$ , tal que para todo $t \in [x, x + c] \cup[y, y + c]$ tal que \begin{align*} &|x - y| < \delta \implies |f(t) - f(t + y - x)| < \frac{\varepsilon}{2c} \\ \implies \; &\int_{x}^{x + c}|f(t) - f(t + y - x)| \; \mathrm{d}t \le \int_{x}^{x + c}\frac{\varepsilon}{2c} \; \mathrm{d}t \\ \implies \; &\left|\int_{x}^{x + c}f(t) - f(t + y - x) \; \mathrm{d}t\right| \le \frac{\varepsilon}{2} \\ \implies \; &\left|\int_{x}^{x + c}f(t) \; \mathrm{d}t - \int_{y}^{y + c}f(t) \; \mathrm{d}t \; \mathrm{d}t\right| < \varepsilon. \end{align*}

Otro enfoque: cuando $x \le y \le x + c$ puedes escribir, $$\int_{x}^{x + c}f(t) \; \mathrm{d}t - \int_{y}^{y + c}f(t) \; \mathrm{d}t \; \mathrm{d}t = \int_x^y f(t) \; \mathrm{d}t + \int_x^y f(t + c) \; \mathrm{d}t.$$ Si dejas que $M$ sea el máximo de $f$ en $[x, x + 2c]$ . Entonces $$\left|\int_{x}^{x + c}f(t) \; \mathrm{d}t - \int_{y}^{y + c}f(t) \; \mathrm{d}t \right| \le 2M|x - y|.$$

Answer 2

Aunque Theo Bendit ya ha dado una buena respuesta a tu pregunta, creo que las cosas se pueden simplificar considerablemente. Lo más importante es que no hay que suponer que $f$ es continua. Basta con que esté acotada (y sea integrable, por supuesto), es decir $\exists M\in\mathbb{N}, \forall t: \, |f(t)| \leq M$ .

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x<y<x+c$ . Podemos escribir

$$ \bigg|F(x)-F(y)\bigg|=\bigg| \int_x^{x+c}f(t)dt - \int_y^{y+c}f(t)dt\bigg|= \bigg| \int_x^yf(t)dt + \int_y^{x+c}f(t)dt - \int_y^{y+c}f(t)dt \bigg|$$

$$\implies \bigg|F(x)-F(y)\bigg|= \bigg| \int_x^yf(t)dt - \int_{x+c}^{y+c}f(t)dt \bigg| \hspace{10px}(\star)$$

Utilizando $(\star)$ y la desigualdad del triángulo, tenemos

$$\bigg| \int_x^yf(t)dt - \int_{x+c}^{y+c}f(t)dt \bigg| \leq \bigg| \int_x^yf(t)dt \bigg|+\bigg| \int_{x+c}^{y+c}f(t)dt \bigg| \leq \int_{x}^{y}\big|f(t)\big|dt+\int_{x+c}^{y+c}\big|f(t)\big|dt$$

Desde $|f(t)| \leq M$ , la monotonicidad de la integración y la última desigualdad implican

$$\bigg| \int_x^yf(t)dt - \int_{x+c}^{y+c}f(t)dt \bigg| \leq |y-x|M + |y-x|M=2M|y-x| \hspace{10px} (\star\star)$$

Por lo tanto, sólo tiene que tomar $\delta < \frac{\epsilon}{2M}$ . Entonces $(\star)$ y $(\star\star)$ implica

$$|x - y| < \delta \implies |F(x) - F(y)| <\epsilon$$

Por lo tanto, $F(x)$ es uniformemente continua. $\fbox{Q.E.D.}$

Si asume $f$ para estar acotado localmente, como menciona Theo Bandit, la misma idea muestra que $F(x)$ seguirá siendo continua, pero no necesariamente uniforme.