Relaciones entre funtores en un recolector

Question

Considere un recolocación situación como la siguiente

por la propia definición de los distintos funtores se deduce que $i^* j_*=0$ y $j^! i_* = 0 = j^* i_!$ . También, $j^! i_! = 0 = j^* i_*$ mediante una inspección.

¿Son ciertas estas "propiedades del núcleo" en una situación general de recolocación? Más concretamente, dejemos que $$ \mathbf{D}^0 \underset{\underset{i_R}\leftarrow}{\overset{\overset{i_L}\leftarrow}\to} \mathbf{D} \underset{\underset{q_R}\leftarrow}{\overset{\overset{q_L}\leftarrow}\to} \mathbf{D}^1 $$ sea un recolector donde $i_L\dashv i\dashv i_R$ y $q_L\dashv q\dashv q_R$ . De los axiomas de recolocación se deduce que $qi=0$ implica $i_L q_L = 0 =i_R q_R$ .

¿Es cierto que también $i_R q_L = 0 = i_L q_R$ ?

Answer 1

Vuelvo a escribir mi comentario aquí, para que aparezca como respuesta.

Si tiene una recolocación como en la pregunta con la propiedad que $i_Rq_L=0=i_Lq_R$ entonces la categoría $D$ se divide como una suma ortogonal de $D^0$ y $D^1$ es decir, cada objeto $d$ de $D$ puede escribirse como una suma directa $d_0 \oplus d_1$ con $d_i \in D^i$ y no hay morfismos no nulos entre $D^0$ y $D^1$ en cualquier dirección. Se puede ver esto mirando uno de los triángulos distinguidos asociados al recolectivo y observando que el morfismo de conexión debe ser cero, y por lo tanto el triángulo está dividido.

En particular, no es cierto que $j^\ast i_\ast = 0$ en la categoría derivada de láminas sobre un espacio (donde $i: U \hookrightarrow X$ es una incrustación abierta y $j: F \hookrightarrow X$ el complemento cerrado). De hecho, la (hiper)cohomología del complejo $j^\ast i_\ast \mathbb Z_U$ calcula la cohomología del enlace de $F$ dentro de $X$ - una importante invariante de la estratificación. Nunca es cero, a menos que $U$ y $F$ son componentes disjuntos.