Sobre la convergencia de $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\,\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)$

Question

¿La siguiente serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge?

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\,\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)$$

Mi respuesta: $$ 0<\frac{1}{\sqrt{n}}<\left|\frac{\cos(\pi n/2)}{n}\right| $$ y $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge por la prueba de la serie p, así que por la prueba de comparación, la serie original también debe divergir.

Answer 1

Esta serie es condicionalmente convergente . Sus términos son: $$\frac{1}{n}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) = \left\{ \begin{array}{llll} \frac{1}{n} & \mbox{if } n=4k , k>0\\ 0 & \mbox{if } n=4k+1 , k\ge0\\ -\frac{1}{n} & \mbox{if } n=4k+2 , k\ge0\\ 0& \mbox{if } n=4k+3, k\ge0\\ \end{array} \right. $$ Al eliminar la expresión cero, y sólo considerar $n=4k$ y $n=4k+2$ , podríamos sustituir y cambiar los índices. Al escribir algunas frases para esta serie: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0-\frac{1}{2}+0+\frac{1}{4}+0-\frac{1}{6}+0+\frac{1}{8}+0+...=\\-\frac{1}{2}\Big(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...\Big)=-\frac{\ln{2}}{2}\approx-0.3466$$

---

Es condicionalmente convergente porque $$\sum \left|\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\right|=\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\Big)$$ no converge.

Referencias: https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test

Answer 2

Dejemos que $M$ cualquier número natural, entonces $$ 2\sum^{M}_{n=1}\cos(n\pi/2)=-1+\cos(M\pi/2)+\sin(M\pi/2). $$ Por lo tanto, las sumas parciales de $\cos(n\pi/2)$ están acotados. También $\frac{1}{n}$ es una secuencia monótona nula. Por lo tanto, a partir de la prueba de Dirichlet (véase [1] pág. 315), la serie $$ \sum^{\infty}_{n=1}\frac{\cos(n\pi/2)}{n} $$ converge a un número. Además, la serie $$ \sum^{\infty}_{n=1}\frac{\cos(n x)}{n^a}\textrm{, }a>0 $$ converge en todo intervalo de la forma $\epsilon\leq x\leq 2\pi-\epsilon$ , donde $\epsilon$ cualquier número en $(0,\pi)$ (véase [1] pg.349).

Referencias.

[1]: Konrad Knopp. ''Teoría y aplicación de las series infinitas''. Dover. (1990)