Afirmaciones con cuantificadores

Question

Estoy confundido con respecto a lo siguiente;

Si tenemos una declaración, por ejemplo, $$\exists_{x} \in X, \forall_{y} \in Y, x + y = 0.$$

Ahora, me pregunto si podrías elegir $x$ como $-y$ o hay que elegir un valor específico para $x$ ?

Answer 1

Con la forma en que está redactada la declaración, está afirmando que hay una $x$ para lo cual $x+y=0$ para CUALQUIER $y$ . La afirmación que dice que cada elemento en $X$ tiene una inversa aditiva en $Y$ sería $$\forall y\in Y\,\exists x\in X\,x+y=0.$$

Answer 2

Tal y como está planteado, tiene que haber (al menos) un valor x que encaje para cada y, por lo que hay que elegir uno concreto. Obviamente se pueden encontrar conjuntos y definir adiciones de manera que esto se mantenga, sin embargo es muy probable que esos cuantificadores deban ser intercambiados, así que "para cada x existe un y" y no "existe un x tal que para cada y"...

Answer 3

El orden de los cuantificadores es importante.

Porque $\exists x$ viene antes de $\forall y$ significa que primero tiene que elegir un $x$ y entonces su adversario producirá un $y$ (posiblemente basado en que $x$ que usted eligió; él no le dice cómo hace su elección) y entonces usted necesita estar seguro de que su $x$ trabajará con eso $y$ .

Si hubiera sido $\forall y$ antes de $\exists x$ entonces usted podría exigir ver los datos del adversario $y$ antes de decidir qué $x$ a utilizar.