Analizar una singularidad

Question

Dejemos que $f(z)=\frac{e^z}{1+z^2}$ se le dé. Tiene dos singularidades aisladas $\{i,-i\}$ .

Sé por la expansión de Laurent que tiene polos de orden 1 en estos puntos. Sin embargo, quiero probar esto sin usar la expansión de Laurent.

Esto significa que quiero llegar a la siguiente conclusión:

$\exists\ a_1,..,a_m\in \mathbb{C},m\in\mathbb{N},a_m\ne0$ para que

$f(z)-\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(z-a)^k}$

tiene una singularidad removible en $a$ . (En nuestro caso serían $\{i,-i\}$ )

De alguna manera, todos mis planteamientos no condujeron a nada y no pude mostrarlo así.

Answer 1

Sugerencia

Encuentre $A, B \in \mathbb C$ tal que $$g(z) = f(z) - \frac{A}{z-i} -\frac{B}{z+i} \tag0$$ es holomorfo en $\mathbb C \setminus\{i,-i\}$ y con los límites existentes $\lim\limits_{z \to \pm i} g(z)$ .