Pregunta:
Mi intento:
$\color{blue}{\text{My answer to part (b) seems wrong, and I can't figure out why.}}$ ¿Pueden indicarme mi error? Esto es lo que hice:
La integral es igual a:
$$ \quad \iiint\limits_V \, \nabla \cdot f \ {d} x\,{d} y\,{d}z$$
$$\nabla \cdot f=\frac{df_1}{dx}+\frac{df_2}{dy}+\frac{df_3}{dz}=y+2y+y=4y$$
Por lo tanto, la integral se convierte en (que luego se puede evaluar fácilmente): $$=\int_0^1 \int_0^2 \int_0^4 4y \ {d} x\,{d} y\,{d}z=32$$
La región de integración es aquella que se encuentra por encima del plano $z=0$ , por debajo del plano $\frac14 x+\frac12 y+z=1$ y dentro de la región triangular $x\ge 0$ , $y\ge 0$ y $2y+x=4$ . Por lo tanto, tenemos
$$\begin{align} \oint_S \vec F\cdot \hat n \,dS&=\int_V \nabla \cdot \vec F\,dV\\\\ &=\int_0^4 \int_0^{2-x/2}\int_0^{1-y/2-x/4}(4y)\,dz\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^4\int_0^{2-x/2}4y(1-y/2-x/4)\,dy\,dx \end{align}$$
¿Puede proceder desde aquí?
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