"¿Sustitución natural entre el grupo de clases de mapeo para Sg (superficie de género-g) y las matrices simplécticas 2gx2g?

Question

Todo el mundo: Estoy leyendo un artículo que hace referencia a esta "suryección natural" entre Mg ; el grupo de mapeo de la superficie de género-g, y Sp(2g,Z), el grupo de 2gx2g -matrices asimétricas sobre Z. ¿Alguien sabe qué es esta suryección? Sé que el núcleo es el grupo de Torelli (y, por supuesto, que el núcleo hace el pollo bien), y he intentado estado intentando reconstruir el mapa de esta manera (al menos hasta cierta equivalencia con el mapa original/previsto), utilizando el primer teorema sobre isomorfismos. ( Entiendo que el grupo de Torelli es el subgrupo que preserva la forma de intersección, o el subgrupo que estabiliza H_1(Sg,Z) ; H_1 es la primera homología de Sg, la superficie de género-g). Os agradecería vuestras sugerencias, referencias, etc.
Gracias por adelantado.

Answer 1

Como has escrito, el grupo de clases de mapeo actúa sobre $H_1(S_g,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{2g}$ . La acción tiene que preservar el emparejamiento de intersección en $H_1$ es decir, la forma simpléctica, por eso obtenemos un morfismo a $Sp(2g,\mathbb{Z})$ .