Homomorfismo de Chern-Weil y espacio clasificatorio

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie real o complejo con el álgebra de Lie $\mathfrak g$ y que $\mathbb C[\mathfrak g]$ sea el álgebra de $\mathbb C$ -polinomios valorados en $\mathfrak g$ . Denote por $$\mathbb C[\mathfrak g]^G=\{f\in \mathbb C[\mathfrak g] | ~f(Ad_g x)=f(x),~ \forall g \in G,~ \forall x\in \mathfrak g\}$$ la subálgebra de puntos fijos en $\mathbb C[\mathfrak g]$ bajo la acción adjunta de $G$ .

Ahora, dado que el principal $G$ -Asamblea $P$ en un colector $M$ El Homomorfismo de Chern-Weil es un homomorfismo de $\mathbb C$ -algebras $\mathbb C[\mathfrak g]^G \to H^*_{dR}(M, \mathbb C)$ que viene dado por $f\mapsto f(F_\nabla)$ para alguna conexión $\nabla$ en el paquete dado.

Supongamos que $G$ es compacto, entonces según Wikipedia tenemos un isomorfismo de $\mathbb C$ -algebras $$\mathbb C[\mathfrak g]^G \cong H^*_{dR}(BG, \mathbb C) $$

Pregunta: ¿Este isomorfismo viene dado por el homomorfismo de Chern-Weil?

Si es así, el problema es que $BG$ puede dejar de ser un colector suave, por lo que deberían ser necesarias condiciones adicionales. Y, lo que $G$ -fondos en $BG$ ¿se debe tener en cuenta? Y, ¿podemos construir explícitamente el homomorfismo inverso?

Si no es así, ¿cómo entender este isomorfismo?

Answer 1

¿Este isomorfismo viene dado por el homomorfismo de Chern-Weil?

Sí, véase el teorema 7.20 en el documento de Freed y Hopkins , que calcula el complejo de Rham de B _∇ G como C[g] G equipado con el diferencial cero.

Algunas observaciones importantes:

1) B _∇ G es la pila de paquetes principales de G con conexión . Las conexiones son necesarias para definir el homomorfismo de Chern-Weil.

2) La afirmación ya es válida en el nivel de los complejos de cadena, no sólo en los grupos de cohomología individuales.

3) B _∇ G no es una variedad lisa, sino una pila (es decir, un presheaf simplicial) en el sitio de las variedades lisas.