Encuentre $t$ , como $N=4000e^{\frac{-t}{50}}$

Question

El número de unidades radiactivas en una muestra que contiene inicialmente 4000 unidades viene dado por $N=4000e^{\frac{-t}{50}}$ . (t en años). Determina cuántos años han pasado cuando el número de unidades disminuye en 15 unidades por año.

¿Cómo se empieza? ¿Una secuencia geométrica? Lo he intentado todo y ninguno funciona.

Answer 1

Si nos interesa la tasa instantánea, la solución viene dada por

$$N'(t)=15$$

En caso contrario, si nos interesa el tipo discreto, tenemos que

$$\Delta N=4000e^{\frac{-t}{50}}-4000e^{\frac{-(t+1)}{50}}=15$$

$$e^{\frac{-t}{50}}\left(1-e^{-\frac{1}{50}}\right)=\frac{15}{4000}$$

$$e^{\frac{-t}{50}}=\frac{\frac{3}{800}}{\left(1-e^{-\frac{1}{50}}\right)}$$

entonces toma $\log$ ambos lados.

Answer 2

La tasa es $dN\over dt$ $=-\frac{4000}{50}e^{-t\over 50}$ . Debemos encontrar $t$ para lo cual es igual a $15$ .

Por lo tanto, tenemos

$$e^{-t\over 50} = \frac{15}{80}$$

$$\implies-t = 50\log{15\over 80}$$

$$\implies\boxed{t \approx 83.69882\text{ years}}$$