Término de error del teorema de los números primos y de la hipótesis de Riemann

Question

He leído que la Hipótesis de Riemann es equivalente a

$\pi(x)=\text{Li}(x)+O(\sqrt{x}\log x)$

¿Existe una afirmación análoga que diga que la Hipótesis de Riemann es equivalente a

$\pi(x)=\frac{x}{\log x}+ O(f(x))\quad$ para algunos $f$

o

$\pi(x)=\frac{x}{\log x}+ g(x) + O(h(x))\quad$ para alguna función elemental $g$ y $h$

Supongo que $f$ no podría ser $\sqrt{x}\log x$ porque he trazado

$\frac{\text{Li}(x)-x/\log(x)}{\sqrt x\log x}$ y parecía que crecía sin límites como $x$ va al infinito.

Answer 1

No es difícil demostrar que $$\mathrm{Li}(x) = \frac{x}{\log x} \sum_{k=0}^{m - 1}{\frac{k!}{(\log x)^k}} + O\left(\frac{x}{(\log x)^{m + 1}}\right)$$ para cualquier $m \geq 0$ (basta con utilizar la definición de $\mathrm{Li}(x)$ y la integración por partes repetida). Así, $$\pi(x) = \frac{x}{\log x} \sum_{k=0}^{m - 1}{\frac{k!}{(\log x)^k}} + O\left(\frac{x}{(\log x)^{m + 1}}\right).$$ No es posible mejorar esto (esto es cierto incondicionalmente; ni siquiera se necesita la hipótesis de Riemann). Así que $\mathrm{Li}(x)$ es realmente la "mejor" aproximación a $\pi(x)$ en comparación con $x/\log x$ .