¿Por qué la cardinalidad del conjunto de números pares = conjunto de números enteros?

Question

Recientemente vi un video en YouTube sobre el teorema de Banach-Tarski (o, paradoja). En él, el presentador construye la prueba del teorema sobre la base de una afirmación no intuitiva de que hay tantos números pares como números enteros, lo cual 'demuestra' mostrando un mapeo 1:1 entre los dos conjuntos.

¿Pero eso constituiría una prueba válida?

Para mí, la densidad numérica (por unidad de longitud de la recta numérica) de los números enteros es claramente mayor que la de los números pares. Y esto, estoy seguro, también se puede demostrar trivialmente mediante inducción matemática.

Más tarde, en el mismo video, se muestra cómo el intervalo [0,1] contiene tantos números reales como los que hay en toda la recta de números reales en su totalidad. Una vez más, usando el sentido común y el concepto intuitivo de 'densidad numérica', habría claramente (infinitamente) más números reales en toda la recta numérica que en una pequeña sección de la misma.

Parece que la mentalidad subyacente en todo esto es: Simplemente "porque no podemos enumerar los números reales en ninguno de los dos conjuntos, vamos a afirmar que ambos conjuntos son iguales en cardinalidad". En el caso anterior de números pares y enteros, simplemente "porque ambos son conjuntos infinitos, vamos a afirmar que ambos conjuntos son iguales en cardinalidad". ¡Y todo esto cuando las matemáticas modernas aceptan el concepto de jerarquía entre infinitos pares! (¿Propuesto primero por Georg Cantor?)

¿Hay un buen libro semi-técnico sobre este tema que pueda usar para entender este tema, en general? Tengo solo un nivel de conocimiento de matemáticas pre-universitario, con todo lo demás olvidado.

Answer 1

Este es un concepto difícil para la mayoría de las personas que están aprendiendo sobre los tamaños de conjuntos infinitos por primera vez. La densidad numérica, como tú la llamas, es un concepto intuitivo y tiene más sentido al principio. Pero hay un par de problemas con eso. Parece que estás queriendo definir el tamaño de un conjunto $A$ como el límite cuando $n$ tiende a infinito del número de números en $A$ menores que $n$ dividido por $n$. Esto, nuevamente, parece natural. Pero ¿qué pasa si mi conjunto no está hecho de números? ¿Qué pasa si fuera un conjunto de polígonos? ¿O líneas? ¿Un conjunto de funciones? ¿Y si fuera un conjunto de conjuntos? Hay un problema aún mayor. Los dígitos que escribimos al enumerar un conjunto son realmente solo símbolos$^\ast$. El conjunto $\{1,2,3,4,...\}$ es solo una colección de símbolos. Si cambio el símbolo "1" a "2" y cambio "2" a "4", "3" a "6", y así sucesivamente, obtengo el conjunto $\{2,4,6,...\}$. Cambié la forma en que se ve cada símbolo. ¿Realmente he cambiado el tamaño del conjunto? ¿Hay una forma universal de definir el tamaño de un conjunto? Existe. No hay confusión sobre el tamaño de conjuntos finitos. También es fácil ver que si una función de un conjunto finito $A$ a otro conjunto finito $B$ es inyectiva y abarca todo en $B$, entonces $A$ y $B$ tienen el mismo tamaño. Simplemente extendemos la idea a conjuntos infinitos. Esto evita el problema de tener que tener un sistema numérico predefinido en los conjuntos. Evita el problema de cambiar el nombre de los elementos de los conjuntos. Y lo más importante, reconoce que el tamaño de un conjunto es lo que definimos que sea. Así que elegimos una definición que sea útil. Esta es una definición útil. En otras palabras, tu pregunta "¿qué constituye una prueba?" está mal planteada. No demostramos que dos conjuntos tengan el mismo tamaño si hay una función biyectiva entre ellos, lo definimos de esa manera.

En cuanto al conjunto $[0,1]$, no es difícil encontrar una biyección de $(0,1)$ a $\mathbb R$, así que la definición dice que tienen el mismo tamaño. Hay otro teorema que dice que si agregamos un número finito de elementos a un conjunto infinito, entonces no cambiamos su cardinalidad. Por lo tanto, $\mathbb R$ y $[0,1]$ tienen la misma cardinalidad.

En cuanto a los libros, te sugeriría Mathematical Proofs, por Gary Chartrand.

$^\ast$Gracias a Todd Wilcox por la revisión de las palabras aquí.

Answer 2

Una vez que determinamos que la noción de correspondencia uno a uno define una noción significativa (a la que nos referimos como "cardinalidad"), tiene sentido determinar las consecuencias. Una de las consecuencias de esta definición es que dos conjuntos pueden tener el mismo tamaño incluso si uno está contenido adecuadamente en el otro. Si no te gusta, entonces es una lástima. Por supuesto, hay conceptos distintos pero relacionados sobre los que puedes aprender, como medida o densidad, pero eso no cambia el hecho de que la cardinalidad es una noción significativa que captura una intuición importante. Si sientes que una prueba de que un conjunto tiene "tantos" elementos como otro es sospechosa, entonces el problema es que el matemático interpreta "tantos como" en términos de correspondencia uno a uno mientras que tú no.

Volviendo a la idea misma de contar. El punto principal es que diferentes conjuntos pueden ser "iguales" de cierta manera incluso si tienen elementos que parecen muy diferentes. La manera de "olvidar" cómo lucen los elementos al determinar si dos conjuntos tienen la misma "tamaño" es hablar de algo que no depende de cómo se etiqueten los elementos, en otras palabras algo que no depende de volver a etiquetar elementos, en otras palabras algo que establece que dos conjuntos tienen el mismo tamaño siempre que haya una correspondencia uno a uno entre ellos. Esta es una forma importante de generalizar la intuición de contar de conjuntos finitos a conjuntos infinitos.

Si quieres pensarlo geométricamente, imagina puntos en el espacio. Si dos conjuntos de puntos tienen "el mismo número" de puntos, esto no debería cambiar si movemos los puntos. Ahora considera puntos en coordenadas enteras $\dots,-2,-1,0,2,1,\dots$ en la recta numérica. Luego mentalmente haz un zoom de factor $2$ para que ahora el conjunto "igual" de puntos resida como coordenadas enteras dobles $\dots,-4,-2,0,2,4,\dots$. ¡Hacer zoom no debería cambiar el número de puntos! Ahora si tomas todos los puntos a la izquierda de $0$, los desplazas a la derecha $1$, y luego los rotas (por ejemplo, en un plano 2D ambiente) hacia el lado positivo de la recta numérica, terminarás con puntos en coordenadas de números enteros $0,1,2,\dots$. Así es como imagino mentalmente las bijecciones entre conjuntos contables.

Answer 3

Cuando pasamos de conjuntos finitos a conjuntos infinitos, muchos aspectos de nuestra intuición se rompen y necesitan ser actualizados. Definimos la cardinalidad por la existencia o no de una biyección. Si hay una biyección entre dos conjuntos, tienen la misma cardinalidad. Si no, el que se puede inyectar en el otro es más pequeño. Cuando haces esto, todos los subconjuntos infinitos de los números naturales tienen la misma cardinalidad, al igual que los números racionales. Los reales son estrictamente mayores: la prueba diagonal de Cantor lo demuestra. No decimos que todos los conjuntos mayores que los naturales tienen la misma cardinalidad. La prueba diagonal de Cantor se puede usar para demostrar que la cantidad de subconjuntos de cualquier conjunto es mayor que la cantidad de elementos del conjunto, por lo que la cantidad de conjuntos de reales es mayor que la cantidad de reales. Luego, los conjuntos de conjuntos de reales son aún mayores. Es una torre que se extiende de manera inimaginablemente lejana, pero para la mayoría de las matemáticas no necesitamos muy a menudo de ellos. Para una introducción semi-técnica, me gusta Rudy Rucker, Infinity and the Mind.