¿El objeto inicial de la categoría de sistemas unarios invertibles puntuales son los enteros?

Question

Un sistema unario apuntado es una tupla $(A, q, f)$ que consiste en un conjunto $A$ con un punto $q\in A$ y una función unaria $f: A\rightarrow A$ y los números naturales $(\mathbb{N}, 0, s)$ se definen como el objeto inicial en la categoría de sistemas unarios puntuales.

Ahora, como no conozco un término oficial para el siguiente objeto, supongamos que definimos un sistema unario punteado $(A, q, f)$ donde $f$ es una función biyectiva para ser un "sistema unario invertible punteado". ¿Es el objeto inicial de la categoría de sistemas unarios invertibles puntuales los enteros $(\mathbb{Z}, 0, s)$ ?

Answer 1

Claro: asumiendo que sus morfismos son funciones son morfismos que respetan $q$ y $f$ entonces dicho objeto es simplemente un conjunto dotado de un $\mathbb{Z}$ -acción y un punto elegido. El objeto inicial de este tipo es ciertamente el conjunto libre con un $\mathbb{Z}$ -acción en un generador, con es $\mathbb{Z}$ sí mismo.