Jacobiano de una transformación en un Manifiesto

Question

Dejemos que $a,b\geq{0}$ . Intento encontrar el jacobiano de la siguiente transformación

\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2&\longmapsto\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\\ (v,w)&\longmapsto (p,q), \end{aligned} \end{equation} donde \begin{equation} \begin{aligned} p&=\frac{v}{2}+\sqrt{av^2+b}\,\,w,\,\,\, and\\ q&=\frac{v}{2}-\sqrt{av^2+b}\,\,w\,. \end{aligned} \end{equation} Bueno, el hecho de que $w\in\mathbb{S}^2$ se obtiene una restricción que se satisface con $p$ y $q$ , ya que $$(p-q)^2-a(p+q)^2=b,$$ y por tanto los espacios final e inicial tienen la misma dimensión.

He calculado el jacobiano de la misma transformación, pero partiendo de $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3$ y fue $(av^2+b)^{\frac{3}{2}}$ .

¿Podría alguien darme una idea de cómo proceder? Se lo agradezco mucho.

Answer 1

No se puede tomar el jacobiano sin considerar la restricción. De lo contrario, el jacobiano en un punto de un colector sería el jacobiano del espacio plano circundante.

No estoy seguro de lo que se puede suponer a partir de la pregunta, pero he aquí una idea de cómo proceder:

• Parametriza la esfera usando tu mapeo favorito, digamos $w=(\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi,\sin\theta)$ . Entonces $f$ se convierte en una función $\Omega\subset\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^6$ . Los cinco vectores tangentes $f_v$ , $f_\theta$ , $f_\phi$ vivir en $\mathbb{R}^6$ .
• Formar la primera forma fundamental $5\times5$ matriz $g_{ij}=f_i\cdot f_j$ , donde $i,j$ rango sobre los cinco vectores. Por último, el "jacobiano" es $\sqrt{\det[g]}$ .

Utilizando la función dada, calculo (sin comprobarlo dos veces) $\sqrt{\det[g]}=\sqrt{\frac{1}{2}(av^2+b)(4a^2v^2+av^2+b)}\cos\theta$ .