resolver $-u''(x)+\int_0^{\pi}u(y)dy=\lambda u(x)$ donde $u(0)=u(\pi)=0$

Question

Consideremos el problema de valores propios $$-u''(x)+\int_0^{\pi}u(y)dy=\lambda u(x)$$ para todos $ 0\le x\le\pi$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ y con $u(0)=u(\pi)=0$ .

Cómo encontrar todas las soluciones $u$ (en $H^1(0,\pi)$ creo) de este problema de valores propios? Mi primer intento fue considerar $u(x)=a \sin(kx)+b \cos(kx)$ y conocer las condiciones de $a,b,k\in \mathbb{R}$ . Pero no estoy seguro de recibir todas las soluciones con este método. ¿Sabe usted cómo proceder?

Answer 1

Suponiendo que tenga una solución $u$ y luego diferenciar: $$ -u'''-\lambda u'=0. $$ Ignorando el caso de que $\lambda=0$ por el momento, $$ u(x)= C+D\cos(\sqrt{\lambda}x)+E\sin(\sqrt{\lambda}x). $$ Suponiendo que $u(0)=0$ , $u'(0)=1$ , $$ C+D=0,\;\;\; E\sqrt{\lambda}=1. $$ La solución de prueba se convierte en $$ u(x)=C(1-\cos(\sqrt{\lambda}x))+\frac{\sin(\sqrt{\lambda}x)}{\sqrt{\lambda}}. $$ Entonces $$ \int_{0}^{\pi}u(t)dt = C\left(\pi-\frac{\sin(\sqrt{\lambda}\pi)}{\sqrt{\lambda}}\right) +\frac{1-\cos(\sqrt{\lambda}\pi)}{\lambda} $$ Introduciendo la ecuación original $$ -C\lambda\cos(\sqrt{\lambda}x)+\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x) +C\left(\pi-\frac{\sin(\sqrt{\lambda}\pi)}{\sqrt{\lambda}}\right) +\frac{1-\cos(\sqrt{\lambda}\pi)}{\lambda} \\ =C\lambda(1-\cos(\sqrt{\lambda}x))+\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x), $$ la constante $C$ se determina por $$ C\left(\pi-\frac{\sin(\sqrt{\lambda}\pi)}{\sqrt{\lambda}}-\lambda\right) +\frac{1-\cos(\sqrt{\lambda}\pi)}{\lambda}=0 \\ C = - \frac{1-\cos(\sqrt{\lambda}\pi)}{\pi\lambda-\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}\pi)-\lambda^2} $$ La ecuación de valores propios para $\lambda$ se determina por $u(1)=0$ que es una ecuación en $\lambda$ que sólo puede tener soluciones reales: $$ C(1-\cos(\sqrt{\lambda}\pi))+\frac{\sin{\sqrt{\lambda}}\pi}{\sqrt{\lambda}}=0. $$ Una vez que un valor propio $\lambda$ se encuentra la solución correspondiente $u_{\lambda}$ es única hasta una constante multiplicativa: $$ u_{\lambda}(x) = C(1-\cos(\sqrt{\lambda}x))+\frac{\sin(\sqrt{\lambda}x)}{\sqrt{\lambda}}. $$

Answer 2

Sugerencia: Intente arreglar $\int_0^\pi u(y)dy=C$ para una constante $C$ y resolver este problema como $C$ varía.