Contar los puntos de la red interior de un polígono

Question

Si defino una red de números enteros $\Lambda \subseteq \mathbb{Z}^2$ con una base dada por $$\omega_{1} = a \hat{i} + b\hat{j}, \;\;\; \omega_{2} = -b \hat{i} + a\hat{j}$$ ¿Cómo puedo contar cuántos puntos de la red son interiores al dominio fundamental de la red? $\Lambda$ ? Es decir, cómo puedo contar el número de puntos de la red interior al cuadrado que toca el origen en términos de $a,b$ ? Sospecho que es $a^2 + b^2 -1$ de hacer algunos dibujos, pero no estoy seguro de cómo probarlo. En términos más generales, si tengo una base ortogonal para un entramado de enteros en $\mathbb{Z}^{n}$ ¿cómo puedo contar el número de puntos de la red dentro del $n$ -¿un hipercubo dimensional que toca el origen? Me conformaría con entender el caso de $\mathbb{Z}^2$ sin embargo.

Answer 1

Del teorema de Pick en Wikipedia tenemos $$ \mbox{interior} = \mbox{Area} + 1 - \frac{\mbox{boundary}}{2} $$

Mientras su $\gcd(a,b) = 1,$ los únicos puntos de celosía en el límite del cuadrado son los propios cuatro vértices. Y su área es $a^2 + b^2$ en cualquier caso, así que $$ \mbox{interior} = a^2 + b^2 + 1 - \frac{4}{2} $$

A continuación, vea lo que sucede si permite $g = \gcd(a,b) > 1.$ Usted obtiene $a^2 + b^2 + 1 - 2 g.$ Imagínate.

Answer 2

Echa un vistazo a mi artículo en http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AMUC/_vol-82/_no_1/_ionascu/ionascu.pdf

Proposición 1.1 en la página 151. En general, hay que buscar en la literatura sobre el polinomio de Ehrhart.