Processing math: 100%

4 votos

Extensiones de funciones medibles

Siento molestaros, estoy con un poco de prisa y no soy un experto en esto y no encuentro la referencia.

Así que resulta que una función medible definida en un subconjunto U de un espacio medible X puede extenderse a una función medible en todo el espacio definiéndola como 0 en XU . Necesitaba la referencia para esto, ¿alguien? Gracias

7voto

Xenph Yan Puntos 20883

Usaré ¯R para denotar los números reales extendidos, es decir [,] . Pero el argumento funciona igual de bien con el viejo y simple R o incluso cualquier subconjunto medible de R que contiene 0 o incluso cualquier espacio medible Y (con algunos yY sustituyendo a 0 ).

Dejemos que X sea un espacio medible con σ -Álgebra M y que UX sea un conjunto medible (es decir UM ), convertido en un espacio medible con el σ -Álgebra N={AUAM} . Tenga en cuenta que NM porque la intersección de dos conjuntos cualesquiera en M está en M .

Dejemos que f:U¯R sea una función medible, y defina F:X¯R por F(x)={f(x) if xU0 if xU. F es medible si y sólo si, para cualquier subconjunto medible S¯R el conjunto F1(S) es un subconjunto medible de X es decir F1(S)M .

Si 0S entonces F1(S)=f1(S) . Porque f es medible, tenemos que f1(S)N y porque NM tenemos que f1(S)M .

Si 0S entonces F1(S)=f1(S)(XU) . Porque f es medible, tenemos que f1(S)N Por lo tanto f1(S)M . Porque cualquier σ -es cerrada bajo complementos y uniones y UM tenemos que XUM y por lo tanto f1(S)(XU)M .

Así, F es medible.

Tenga en cuenta que si U no fueran medibles, este argumento no funcionaría, porque (como señala Arturo más adelante) no podríamos concluir que F1(S) sería medible para cualquier S o ¯R .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X