Siento molestaros, estoy con un poco de prisa y no soy un experto en esto y no encuentro la referencia.
Así que resulta que una función medible definida en un subconjunto U de un espacio medible X puede extenderse a una función medible en todo el espacio definiéndola como 0 en X∖U . Necesitaba la referencia para esto, ¿alguien? Gracias
Usaré ¯R para denotar los números reales extendidos, es decir [−∞,∞] . Pero el argumento funciona igual de bien con el viejo y simple R o incluso cualquier subconjunto medible de R que contiene 0 o incluso cualquier espacio medible Y (con algunos y∈Y sustituyendo a 0 ).
Dejemos que X sea un espacio medible con σ -Álgebra M y que U⊆X sea un conjunto medible (es decir U∈M ), convertido en un espacio medible con el σ -Álgebra N={A∩U∣A∈M} . Tenga en cuenta que N⊆M porque la intersección de dos conjuntos cualesquiera en M está en M .
Dejemos que f:U→¯R sea una función medible, y defina F:X→¯R por F(x)={f(x) if x∈U0 if x∉U. F es medible si y sólo si, para cualquier subconjunto medible S⊆¯R el conjunto F−1(S) es un subconjunto medible de X es decir F−1(S)∈M .
Si 0∉S entonces F−1(S)=f−1(S) . Porque f es medible, tenemos que f−1(S)∈N y porque N⊆M tenemos que f−1(S)∈M .
Si 0∈S entonces F−1(S)=f−1(S)∪(X∖U) . Porque f es medible, tenemos que f−1(S)∈N Por lo tanto f−1(S)∈M . Porque cualquier σ -es cerrada bajo complementos y uniones y U∈M tenemos que X∖U∈M y por lo tanto f−1(S)∪(X∖U)∈M .
Así, F es medible.
Tenga en cuenta que si U no fueran medibles, este argumento no funcionaría, porque (como señala Arturo más adelante) no podríamos concluir que F−1(S) sería medible para cualquier S≠∅ o ¯R .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
