Extensiones de funciones medibles

Question

Siento molestaros, estoy con un poco de prisa y no soy un experto en esto y no encuentro la referencia.

Así que resulta que una función medible definida en un subconjunto $U$ de un espacio medible $X$ puede extenderse a una función medible en todo el espacio definiéndola como $0$ en $X\setminus U$ . Necesitaba la referencia para esto, ¿alguien? Gracias

Answer 1

Usaré $\overline{\mathbb{R}}$ para denotar los números reales extendidos, es decir $[-\infty,\infty]$ . Pero el argumento funciona igual de bien con el viejo y simple $\mathbb{R}$ o incluso cualquier subconjunto medible de $\mathbb{R}$ que contiene $0$ o incluso cualquier espacio medible $Y$ (con algunos $y\in Y$ sustituyendo a $0$ ).

Dejemos que $X$ sea un espacio medible con $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{M}$ y que $U\subseteq X$ sea un conjunto medible (es decir $U\in\mathcal{M}$ ), convertido en un espacio medible con el $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{N}=\{A\cap U\mid A\in\mathcal{M}\}$ . Tenga en cuenta que $\mathcal{N}\subseteq\mathcal{M}$ porque la intersección de dos conjuntos cualesquiera en $\mathcal{M}$ está en $\mathcal{M}$ .

Dejemos que $f:U\to\overline{\mathbb{R}}$ sea una función medible, y defina $F:X\to\overline{\mathbb{R}}$ por $$F(x)=\begin{cases} f(x)\quad\,\text{ if }x\in U\\0\quad\quad\quad\text{ if }x\notin U.\end{cases}$$ $F$ es medible si y sólo si, para cualquier subconjunto medible $S\subseteq\overline{\mathbb{R}}$ el conjunto $F^{-1}(S)$ es un subconjunto medible de $X$ es decir $F^{-1}(S)\in\mathcal{M}$ .

Si $0\notin S$ entonces $F^{-1}(S)=f^{-1}(S)$ . Porque $f$ es medible, tenemos que $f^{-1}(S)\in\mathcal{N}$ y porque $\mathcal{N}\subseteq\mathcal{M}$ tenemos que $f^{-1}(S)\in\mathcal{M}$ .

Si $0\in S$ entonces $F^{-1}(S)=f^{-1}(S)\cup (X\setminus U)$ . Porque $f$ es medible, tenemos que $f^{-1}(S)\in\mathcal{N}$ Por lo tanto $f^{-1}(S)\in\mathcal{M}$ . Porque cualquier $\sigma$ -es cerrada bajo complementos y uniones y $U\in\mathcal{M}$ tenemos que $X\setminus U\in\mathcal{M}$ y por lo tanto $f^{-1}(S)\cup (X\setminus U)\in\mathcal{M}$ .

Así, $F$ es medible.

Tenga en cuenta que si $U$ no fueran medibles, este argumento no funcionaría, porque (como señala Arturo más adelante) no podríamos concluir que $F^{-1}(S)$ sería medible para cualquier $S\neq\varnothing$ o $\overline{\mathbb{R}}$ .