La distribución vectorial Bingham-von Mises-Fisher se define en la esfera $S^{p-1}$ y tiene una densidad $$p(x \vert c, A) \propto \text{exp}\{c^Tx + x^TAx\}$$ con respecto a la medida uniforme en $S^{p-1}.$ Supongamos que $c\in\mathbb{R}^p\setminus \{0\}$ y $A \succeq 0.$ El conjunto modal de la distribución es el conjunto de soluciones del problema de optimización del título. ¿Cómo puedo caracterizar este conjunto y bajo qué condiciones está formado por un único punto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenemos un no -convexo programa cuadrático con restricciones cuadráticas (QCQP). Sea $\mathrm b := -\frac 12 \mathrm c$ y
$$\mathcal L (\mathrm x, \lambda) := \mathrm x^{\top} \mathrm A \, \mathrm x - 2 \mathrm b^{\top} \mathrm x - \lambda (\mathrm x^{\top} \mathrm x - 1)$$
sea el lagrangiano. Tomando las derivadas parciales y encontrando dónde desaparecen, obtenemos
$$\left( \mathrm A - \lambda \mathrm I \right) \mathrm x = \mathrm b \qquad\qquad\qquad \| \mathrm x \|_2 = 1$$
Tenemos que considerar dos casos. Si
-
$\lambda$ es un valor propio de $\mathrm A$ entonces el sistema lineal $\left( \mathrm A - \lambda \mathrm I \right) \mathrm x = \mathrm b$ no tiene ninguna solución o tiene infinitas soluciones. En este último caso, intersecamos el espacio de soluciones afín con la esfera euclidiana unitaria para encontrar soluciones del QCQP.
-
$\lambda$ es no un valor propio de $\mathrm A$ entonces el sistema lineal $\left( \mathrm A - \lambda \mathrm I \right) \mathrm x = \mathrm b$ tiene una solución única. Si esta solución única tiene norma euclidiana unitaria, hemos encontrado la solución única del QCQP.
