Resolver $2x^2-5x+2=$ $\frac{5-\sqrt{9+8x}}{4}$

Question

Resuelve $2x^2-5x+2$\= $\frac{5-\sqrt{9+8x}}{4}$

Simplemente hago el cuadrado de ambos lados para resolverlo y obtengo dos valores de x, uno es 2 y el otro es $\frac{3-5}{2}$, pero este enfoque lleva más tiempo, ¿hay algún enfoque para resolver esta ecuación?

Answer 1

Tomando la observación de Jerry Chang (que equivale al hecho de que la expresión del lado derecho es lo que obtienes cuando enchufas los coeficientes del cuadrático en la fórmula cuadrática, eligiendo simplemente el signo menos para la raíz cuadrada) y estableciendo $y=2x^2-5x+2$ para que $x=2y^2-5y+2$ podemos restar uno de estos del otro para obtener:

$$y-x=2(x^2-y^2)-5(x-y)$$

Lo cual nos da $y=x$; o

$1=5-2(x+y)$ es decir $x+y=2$

Entonces el problema se divide en $2x^2-5x+2=x$ o $2x^2-5x+2=2-x$

Las soluciones de estas ecuaciones deben ser enchufadas de nuevo en la original para verificar cuál pertenece a qué elección de signo de la raíz cuadrada.

Answer 2

No conozco otra forma que pasar por el álgebra, obtuve las mismas soluciones. $$\begin{align} 2x^2-5x+2 &= \frac{5-\sqrt{9+8x}}{4} \\ 8x^2-20x+3 &= -\sqrt{9+8x} \\ (8x^2-20x+3)^2 &= (-\sqrt{9+8x})^2 \\ 64x^4-320x^3+448x^2-120x+9 &= 9 +8x\\ 64x^4-320x^3+440x^2-120x &= 0 \\ 64x(x-2)(x^2-3x+1) &=0 \\ \end{align}$$ Podemos ver que las soluciones son $0$, $x=2$, $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$. Luego, al sustituir esos valores en la ecuación original, obtenemos $x=2$ y $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$