Dejemos que $n,p > 1$ sean enteros positivos y $p$ sea primo. Dado que $n \mid p1$ y $p \mid n^3 1$ , demuestre que $4p 3$ es un cuadrado perfecto.
Irán 2005
Mi solución;
$n \mid p1 \implies kn + 1 = p\tag{1}$
$p \mid n^3 1 \implies p \mid n^2 + n + 1$ (como $ p \ge n + 1 > n-1.$ )
Poner (1) en la ecuación anterior implica;
$$ nk + 1 \mid n^2 + n + 1 +\ [+(k-1)n - (k-1)n] \\\implies nk + 1 \mid n + 1 - k \\\implies |n + 1 - k| \ge nk + 1$$
Caso 1 : $ n + 1 - k > 0$
Entonces, $n \ge n(k+1)$ que no es posible.
Caso 2: $ n + 1 - k < 0$
Entonces, $ k \ge n(k+1) + 2$ que tampoco es posible,
Por lo tanto, $ n + 1 - k = 0$
Poniendo esto en (1) $\implies p=n^2 + n + 1 \implies 4p-3 = (2n+1)^2$
He leído mi solución y todo parece correcto, pero nunca he hecho lo de dividir en dos casos antes, así que tengo mis dudas al respecto.
Podrían decirme, por favor, si mi prueba es correcta y se comprueba,
Gracias.
