Cómo demostrar que un conjunto es abierto

Question

El problema es demostrar $\{(x,y) \mid 2 \lt x^2 + y^2 \lt 4\}$ está abierto. Así que tengo un círculo arbitrario en este conjunto, con un radio mayor que $2$ y menos de 4 (como se indica en el problema) y un punto arbitrario $(a,b)$ en este círculo arbitrario. Quiero demostrar que este punto arbitrario está en el conjunto, por lo que tengo que $2 \lt |a - x| \lt 4$ y $2 \lt |b - y| \lt 4$ desde $2 \lt |a - x| \lt x^2 + y^2 \lt 4$ y $2 \lt |b - y| \lt x^2 + y^2 \lt 4$ (¿creo?). Pero después de un tiempo manipulando algebraicamente estas desigualdades, no puedo llegar a la conclusión de que $2 \lt a \lt 4$ y $2 \lt b \lt 4$ que es lo que creo que queremos.

Answer 1

Una pista: Dejemos que $S$ sea el conjunto de todos los $(x,y)$ tal que $2\lt x^2+y^2\lt 4$ . Sea $(a,b)\in S$ . Queremos demostrar que existe una $r$ tal que el disco abierto con centro $(a,b)$ y el radio $r$ se encuentra en su totalidad en $S$ .

Haz un dibujo. Está claro que si $r\le \min(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{2}, \sqrt{4}-\sqrt{a^2+b^2})$ entonces el disco abierto con centro $(a,b)$ y el radio $r$ se encuentra en su totalidad en $S$ .

Answer 2

Una pista: Escríbelo en términos de discos abiertos y (complementos de) discos cerrados: $$\{(x,y) \mid 2 \lt x^2 + y^2 \lt 4\} = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \lt 4\} \cap \{\mathbb{R}^2 \setminus \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \leq 2\} $$

Answer 3

En general, lo mejor es encontrar alguna expresión general para el radio $r$ de la Bola abierta $B_r(a)$ depende de $a \in M$ . Entonces hemos demostrado que se puede construir una bola alrededor de cada elemento que todavía está contenido en $M$ .