Invariancia del producto escalar

Question

La pregunta es en cierto modo una tontería, pero parece que no encuentro una salida en este momento.

Considere el vector $v\in\mathbb R^2$ expresado en coordenadas cartesianas como $(1,1)$ y en coordenadas polares como $(\sqrt 2, \pi/4)$ . La longitud del vector debería ser la misma independientemente del sistema de coordenadas, ¿no?

En coordenadas cartesianas el tensor métrico es la identidad, por lo que la norma al cuadrado es simplemente $1+1=2$ en coordenadas polares $g = diag(1, r^2)$ para que la norma al cuadrado sea $2 + 4\cdot (\pi^2/16)$ . Esto parece equivocada .

También se comprueba fácilmente que los vectores que son ortogonales con la métrica ordinaria dejan de serlo en esta nueva métrica.

Entonces llegaría a la conclusión de que simplemente no puedo utilizar el tensor métrico así - pero parece que eso es lo que estoy haciendo todo el tiempo en la RG... ¿Qué está pasando? ¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

La cuestión es que la longitud de su vector viene dada por \begin{equation} s=\int_0^a \sqrt{g_{11} u'^{2}+g_{22} v'^{2}} dt \end{equation} En coordenadas cartesianas, el vector longitud (1,1) puede calcularse considerando la representación paramétrica de una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45°. Así, $(u(t),v(t))=(t,t)$ . La integral debe evaluarse entre 0 y 1. Al hacerlo tenemos \begin{equation} s=\int_0^1 \sqrt{1 +1} dt=\sqrt{1 +1} \end{equation} Al considerar la coordenada polar la misma recta viene dada por la representación paramétrica $(u(t),v(t))=(t \sqrt 2 ,\pi/4)$ donde u(t) representa r, y v(t) el ángulo $\theta$ . Entonces \begin{equation} s=\int_0^1 \sqrt{1 \cdot (\sqrt 2)^2 + 0 \cdot (t \sqrt 2)^2 } dt=\sqrt{1 +1} \end{equation}

Answer 2

Vamos a jugar según las reglas del cálculo tensorial. Introduzcamos las coordenadas polares y calculemos los vectores base locales vectores de ese sistema: $$ \left. \begin{matrix} x = r\cos(\phi) \\ y = r\sin(\phi) \end{matrix} \right\} \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{matrix} \vec{c}_r = \left[ \begin{matrix} \partial x/\partial r\\ \partial y/\partial r\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\end{matrix}\right] \\ \vec{c}_\phi = \left[ \begin{matrix} \partial x/\partial \phi\\ \partial y/\partial \phi\end{matrix} \right] = r \left[\begin{matrix}-\sin(\phi)\\ \cos(\phi)\end{matrix}\right] \end{matrix} \right. $$ A continuación, calcula el tensor métrico: $$ \left[ \begin{matrix} g_{rr} & g_{r\phi} \\ g_{\phi r} & g_{\phi\phi} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \left(\vec{c}_r\cdot\vec{c}_r\right) & \left(\vec{c}_r\cdot\vec{c}_\phi\right)\\ \left(\vec{c}_r\cdot\vec{c}_\phi\right) & \left(\vec{c}_\phi\cdot\vec{c}_\phi\right) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{matrix}\right] $$ Entonces todo lo que podemos decir es algo sobre el infinitesimal longitud: $$ ds^2 = \left[ \begin{matrix} dr & d\phi \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} dr \\ d\phi \end{matrix} \right] \quad \Longrightarrow \quad ds^2 = dx^2 + dy^2 = dr^2 + r^2 d\phi^2 $$ En la respuesta de Upax se muestra cómo integrar esto para obtener una longitud finita. Sustituya $r=t\sqrt{2}$ y $\phi=\pi/4$ en: $$ s = \int_0^1 \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2} dt = \int_0^1 \sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(t\sqrt{2}\right)^2\cdot 0}\; dt = \sqrt{2} $$