$\operatorname{range}T\cap\operatorname{range}U = \{0\}$ implica que $\{U,V\}$ es linealmente independiente

Question

Se me exige que pruebe la siguiente reclamación. ¿Es mi argumento válido?

Teorema . Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales y $T$ y $U$ son transformaciones lineales no nulas de $V$ a $W$ tal que $\operatorname{range}T\cap\operatorname{range}U = \{0\}$ . entonces el conjunto $\{U,V\}$ es linealmente independiente en $\mathcal{L}(V,W)$ .

Prueba. Supongamos por el contrario que el conjunto $\{U,V\}$ es linealmente dependiente, es decir, para algunos $c\in\mathbf{F}$ o bien $T = cU$ o $U = cT$ . Consideremos primero el primer caso.

Desde $T$ y $U$ son mapas lineales no nulos se deduce que $c\neq 0$ y que para algún vector no nulo $v\in V$ tenemos $Tv = U(cv)\neq 0$ evidentemente $Tv\in\operatorname{range}T$ y como $Tv = U(cv)$ se deduce que $Tv\in\operatorname{range}U$ en consecuencia $Tv\in\operatorname{range}T\cap\operatorname{range}U$ y así $Tv = 0$ resultando en una contradicción.

Podemos llegar a un absurdo similar al abordar el caso $U = cT$ .

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Answer 1

La prueba es buena.

Se podría simplificar observando que desde $T=cU$ , usted tiene $T(v)=U(cv)$ para cada $v\in V$ . Así, $T(v)\in\operatorname{range}T\cap\operatorname{range}U$ , obligando a $T(v)=0$ para cada $v\in V$ , lo cual es una contradicción con $T\ne0$ .