La prueba es la siguiente:
Si $a_1, \dots, a_n$ son números positivos entonces: $$ (a_1 + \dots + a_n)/n \geq \sqrt[n]{a_1 \dots a_n} $$ El lado izquierdo lo denotamos por $A_n$ y el lado derecho por $G_n$ .
La desigualdad es trivial cuando $n = 1$ . Supongamos que la desigualdad es verdadera si $n = k$ .
Aplicando esta desigualdad a $b_1 = a_{k+1}$ y $b_2 = b_3 = b_k = A_{k+1}$ obtenemos: $$ \frac{a_{k+1} + (k-1)A_{k+1}}{k} \geq (a_{k+1}A_{k+1}^{k-1})^{1/k} $$ Ahora déjalo: $$ A = \frac{a_{k+1} + (k-1)A_{k+1}}{k} \quad and \quad G = (a_{k+1}A_{k+1}^{k-1})^{1/k} \tag{1} $$
Aplicando la desigualdad para el caso en que n = 2, obtenemos: $$ A_{k+1} = \frac{A_k + A}{2} \geq (A_k A)^{1/2} \geq (G_k G)^{1/2} = (G_{k+1}^{k+1}A_{k+1}^{k-1})^{1/2k} \tag{2} $$ Es decir $$A_{k+1} \geq (G_{k+1}^{k+1}A_{k+1}^{k-1})^{1/2k}$$ y por lo tanto $A_{k+1} \geq G_{k+1}$ .
En concreto, una vez que definimos $A$ y $G$ en (1) no consigo entender el significado de los subíndices de $A$ y $G$ en (2). Principalmente he intentado resolver mi dificultad utilizando $G_k$ pero cada vez que no puedo desplegar $G_k G$ para conseguir $(G_{k+1}^{k+1}A_{k+1}^{k-1})^{1/2k}$ .
