La ecuación funcional $f(f(x)+xf(y))=xf(y+1)$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación funcional $f(f(x)+xf(y))=xf(y+1)$ .

Hasta ahora he encontrado que $f(f(0))=0$ cuando $x=0$ y que $f(y+1)=f(f(y)+f(1))$ al establecer $x=1$ . También $f(x)=x$ es una solución aparente que podría ser la única creo, pero no estoy seguro ya que no tengo ninguna respuesta.

¿Puede alguien ayudarme a resolver el problema?

Answer 1

Tenga en cuenta que al establecer $x=y=-1$ vemos que $f(0)=-f(0)$ lo que implica que $f(0)=0$ .
Para $y=0$ tenemos que $f(f(x))=xf(1)$ para que $f(f(1))=f(1)$ . Establecemos $x=f(1)$ y conseguir que $f(f(f(1)))=f(f(1))=f(1)=xf(1)=f(1)f(1)$ lo que implica que $f(1)=f(1)f(1)$ de modo que, para los casos de $f(1)$ , $f(1)=1$ .
Ahora tenemos que $f(f(x))=x$ así que $f$ es una involución y por tanto es inyectiva. Establecemos $x=1$ para conseguir $f(y+1)=f(f(y)+f(1))$ lo que implica que $y+1=f(y)+f(1)$ porque $f$ es inyectiva. Se deduce del hecho de que $f(1)=1$ que $f(y)=y$ .
Por último, si $f(1)=0$ entonces $f(f(x))=0$ . Para $x=1$ , $f(f(y))=f(y+1)$ para que $f(y+1)=0$ lo que implica que $f(x)=0$ que es otra solución válida.