Acotamiento de la solución de una EDO no lineal

Question

Estoy considerando la oda no lineal de segundo orden: $u''(r)+mu'(r)/r + u(r)^p-u(r) =0, r\ge a>0$ donde $m\ge 0$ y $p>1$ son constantes.

En particular, esta ecuación tiene una función de Lyapunov/Energía $ E(r)= \frac{u'(r)^2}{2}+\frac{u^{p+1}(r)}{p+1}-\frac{u^2(r)}{2}, $ a partir de la cual calculamos que $E'(r) = -m\frac{u'(r)^2}{r}\le 0$ Por lo tanto, la energía está disminuyendo a lo largo de las trayectorias, sin embargo, el documento que estoy leyendo afirma que $E$ disminuye hasta una constante finita a medida que $r\to \infty$ por qué se da el caso de que $E(r) \to -\infty$ ¿excluido?

Answer 1

Suponiendo que $p$ es un número entero positivo par, ciertamente se puede tener $E(r) \to -\infty$ . Y lo que es peor, esto puede ocurrir como $r$ se acerca a un valor finito, en lugar de $\infty$ .

EDITAR: Considere, por ejemplo, el caso $p=2$ , $m=0$ . La función de Lyapunov $u'^2/2 + u^3/3 - u^2/2$ es constante. Pero muchas de las curvas de nivel de este en el $(u,u')$ plano no tienen límites, y a lo largo de ellos $u \to -\infty$ con $u' \to -\infty$ . Y estos tendrán $|u'| \sim - (2/3)^{1/2} |u|^{3/2}$ , lo que haría que $u(t) \sim -6/(r - r_0)^2$ para algunos $r_0$ .