$n$ -derivada de $e^{ax} \sin(bx+c)$

Question

Encuentre el $n$ derivada de la siguiente función:

$$f(x) = e^{ax}\sin(bx+c) $$

Intenté usar la regla del producto unas cuantas veces y ver si había un patrón pero no pude encontrar ninguno y también intenté generar una serie de Taylor y todo pero no funcionó realmente ya que necesito encontrar el $n$ derivada de todos los $x$ valores no sólo $0$ .

Puede que haya hecho algo mal pero no estoy seguro.

Gracias

Answer 1

N-ésima derivada de $f(x)=e^{ax}\sin(bx+c)$ será la parte imaginaria de $e^{ax}\times e^{i(bx+c)}=e^{(a+bi)x+ci}$ .
Así que, será... $$\Im((a+bi)^ne^{(a+bi)x+ci})$$

Answer 2

Se puede obtener una fórmula explícita para el $n$ derivada de $e^{ax}\sin(bx+c)$ si se empieza escribiendo $$\sin x=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$$

En cuyo caso, $$e^{ax}\sin(bx+c)=\frac{1}{2i}\left(e^{x(a+ib)+ic}-e^{(a-ib)x-ic}\right)$$

Diferenciando $n$ veces, obtenemos $$\frac{1}{2i}\left((a+ib)^ne^{x(a+ib)+ic}-(a-ib)^ne^{(a-ib)x-ic}\right)$$

Utilizando $e^{ix}=\cos x +i\sin x$ se puede escribir como $$\frac{e^{ax}}{2i}\left[\left((a+ib)^n-(a-ib)^n)\right)\cos(bx+c)+i\left((a+ib)^n+(a-ib)^n\right)\sin(bx+c)\right]$$

Por lo tanto, si puedes calcular potencias de números complejos, esto es bastante fácil de usar y dará una respuesta real.

Por ejemplo, si quiere que el $10$ derivada de $e^{2x}\sin(3x+c)$ , puedes poner $n=10$ , $a=2$ y $b=3$ y obtener $$-e^{2x}[145668\cos(3x+c)+341525\sin(3x+c)]$$